Zbir kvadrata tangensa: π/12, π/4 i 5π/12

Prvo ćemo pojednostaviti svaki od sabiraka u izrazu na levoj strani jednakosti. Srednji sabirak možemo lako odrediti jer je $\frac{3\pi}{12} = \frac{\pi}{4} .$

\text{tg}^2 \frac{3\pi}{12} = \text{tg}^2 \frac{\pi}{4} = 1^2 = 1

Za treći sabirak primećujemo vezu između uglova $\frac{5\pi}{12}$ i $\frac{\pi}{12} .$ Kako je $\frac{5\pi}{12} = \frac{6\pi}{12} - \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{12} ,$ možemo iskoristiti osobinu komplementarnih uglova.

\text{tg} \frac{5\pi}{12} = \text{tg} \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{12} \right) = \text{ctg} \frac{\pi}{12}

Zamenom dobijenih vrednosti, izraz na levoj strani jednakosti postaje:

\text{tg}^2 \frac{\pi}{12} + 1 + \text{ctg}^2 \frac{\pi}{12}

Sada ćemo izraziti tangens i kotangens preko sinusa i kosinusa kako bismo sabrali preostala dva člana.

\text{tg}^2 \frac{\pi}{12} + \text{ctg}^2 \frac{\pi}{12} = \frac{\sin^2 \frac{\pi}{12}}{\cos^2 \frac{\pi}{12}} + \frac{\cos^2 \frac{\pi}{12}}{\sin^2 \frac{\pi}{12}}

Svodeći na zajednički imenilac dobijamo:

\frac{\sin^4 \frac{\pi}{12} + \cos^4 \frac{\pi}{12}}{\sin^2 \frac{\pi}{12} \cos^2 \frac{\pi}{12}}

Brojilac možemo transformisati dopunom do potpunog kvadrata, koristeći identitet $a^4 + b^4 = (a^2 + b^2)^2 - 2a^2b^2$ i osnovni trigonometrijski identitet $\sin^2 x + \cos^2 x = 1 .$

\sin^4 \frac{\pi}{12} + \cos^4 \frac{\pi}{12} = \left( \sin^2 \frac{\pi}{12} + \cos^2 \frac{\pi}{12} \right)^2 - 2\sin^2 \frac{\pi}{12} \cos^2 \frac{\pi}{12} = 1 - 2\sin^2 \frac{\pi}{12} \cos^2 \frac{\pi}{12}

Za imenilac ćemo iskoristiti formulu za proizvod sinusa i kosinusa: $\sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)) .$ Za $\alpha = \beta = \frac{\pi}{12}$ dobijamo:

\sin \frac{\pi}{12} \cos \frac{\pi}{12} = \frac{1}{2} \left( \sin \left( \frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{12} \right) + \sin 0 \right) = \frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{6}

Pošto je $\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} ,$ računamo vrednost proizvoda:

\sin \frac{\pi}{12} \cos \frac{\pi}{12} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}

Sada možemo zameniti ovu vrednost nazad u izraz za zbir kvadrata tangensa i kotangensa.

\frac{1 - 2\left(\frac{1}{4}\right)^2}{\left(\frac{1}{4}\right)^2} = \frac{1 - 2 \cdot \frac{1}{16}}{\frac{1}{16}}

Sređujemo dobijeni dvojni razlomak:

\frac{1 - \frac{1}{8}}{\frac{1}{16}} = \frac{\frac{7}{8}}{\frac{1}{16}} = \frac{7 \cdot 16}{8} = 14

Na kraju, dodajemo vrednost srednjeg sabirka koju smo odredili na početku, čime je jednakost dokazana.

14 + 1 = 15

Započni učenje

Online časovi

785

Beleške