2681.

Transformacija zbira i razlike trigonometrijskih funkcija u proizvod

TEKST ZADATKA

Ako je tg 2α=3, \text{tg } 2\alpha = 3 , pokazati da je tg(5π4+α)−tg(5π4−α)=6. \text{tg}\left(\frac{5\pi}{4} + \alpha\right) - \text{tg}\left(\frac{5\pi}{4} - \alpha\right) = 6 .

REŠENJE ZADATKA

Zapišimo dati izraz preko sinusa i kosinusa. Koristićemo identitet za razliku tangensa koji se dobija svođenjem na zajednički imenilac:

tg x−tg y=sin⁡xcos⁡x−sin⁡ycos⁡y=sin⁡xcos⁡y−cos⁡xsin⁡ycos⁡xcos⁡y=sin⁡(x−y)cos⁡xcos⁡y\text{tg } x - \text{tg } y = \frac{\sin x}{\cos x} - \frac{\sin y}{\cos y} = \frac{\sin x \cos y - \cos x \sin y}{\cos x \cos y} = \frac{\sin(x - y)}{\cos x \cos y}

Primenimo ovaj identitet na naš izraz, gde je x=5π4+α x = \frac{5\pi}{4} + \alpha i y=5π4−α. y = \frac{5\pi}{4} - \alpha . Prvo računamo razliku argumenata u brojiocu:

x−y=(5π4+α)−(5π4−α)=2αx - y = \left(\frac{5\pi}{4} + \alpha\right) - \left(\frac{5\pi}{4} - \alpha\right) = 2\alpha

Na osnovu toga, brojilac našeg izraza postaje sin⁡(2α), \sin(2\alpha) , pa ceo izraz možemo zapisati kao:

sin⁡(2α)cos⁡(5π4+α)cos⁡(5π4−α)\frac{\sin(2\alpha)}{\cos\left(\frac{5\pi}{4} + \alpha\right) \cos\left(\frac{5\pi}{4} - \alpha\right)}

Sada transformišemo imenilac koristeći formulu za proizvod kosinusa:

cos⁡xcos⁡y=12(cos⁡(x+y)+cos⁡(x−y))\cos x \cos y = \frac{1}{2}(\cos(x + y) + \cos(x - y))

Računamo zbir argumenata x+y x + y za primenu u formuli:

x+y=(5π4+α)+(5π4−α)=10π4=5π2x + y = \left(\frac{5\pi}{4} + \alpha\right) + \left(\frac{5\pi}{4} - \alpha\right) = \frac{10\pi}{4} = \frac{5\pi}{2}

Zamenjujemo zbir i razliku argumenata u formulu za proizvod kosinusa:

cos⁡(5π4+α)cos⁡(5π4−α)=12(cos⁡(5π2)+cos⁡(2α))\cos\left(\frac{5\pi}{4} + \alpha\right) \cos\left(\frac{5\pi}{4} - \alpha\right) = \frac{1}{2}\left(\cos\left(\frac{5\pi}{2}\right) + \cos(2\alpha)\right)

Znamo da je kosinus od 5π2 \frac{5\pi}{2} jednak nuli, jer je 5π2=2π+π2, \frac{5\pi}{2} = 2\pi + \frac{\pi}{2} , pa se imenilac znatno pojednostavljuje:

12(0+cos⁡(2α))=12cos⁡(2α)\frac{1}{2}(0 + \cos(2\alpha)) = \frac{1}{2}\cos(2\alpha)

Vraćamo dobijeni imenilac u razlomak iz koraka 3:

sin⁡(2α)12cos⁡(2α)=2sin⁡(2α)cos⁡(2α)\frac{\sin(2\alpha)}{\frac{1}{2}\cos(2\alpha)} = 2 \frac{\sin(2\alpha)}{\cos(2\alpha)}

Prepoznajemo da je količnik sinusa i kosinusa istog ugla jednak tangensu tog ugla:

2sin⁡(2α)cos⁡(2α)=2tg (2α)2 \frac{\sin(2\alpha)}{\cos(2\alpha)} = 2\text{tg }(2\alpha)

Na kraju, koristimo podatak iz zadatka da je tg 2α=3 \text{tg } 2\alpha = 3 i zamenjujemo ga u dobijeni izraz:

2⋅3=62 \cdot 3 = 6

Ovim smo uspešno pokazali da je vrednost početnog izraza jednaka 6.

tg(5π4+α)−tg(5π4−α)=6\text{tg}\left(\frac{5\pi}{4} + \alpha\right) - \text{tg}\left(\frac{5\pi}{4} - \alpha\right) = 6

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti