2680.

Transformacija zbira i razlike trigonometrijskih funkcija u proizvod

TEKST ZADATKA

Dokazati jednakosti (zadaci 784-785):

tg2π12+tg23π12+tg25π12=15\text{tg}^2 \frac{\pi}{12} + \text{tg}^2 \frac{3\pi}{12} + \text{tg}^2 \frac{5\pi}{12} = 15
REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo pojednostaviti svaki od sabiraka u izrazu na levoj strani jednakosti. Srednji sabirak možemo lako odrediti jer je 3π12=π4. \frac{3\pi}{12} = \frac{\pi}{4} .

tg23π12=tg2π4=12=1\text{tg}^2 \frac{3\pi}{12} = \text{tg}^2 \frac{\pi}{4} = 1^2 = 1

Za treći sabirak primećujemo vezu između uglova 5π12 \frac{5\pi}{12} i π12. \frac{\pi}{12} . Kako je 5π12=6π12−π12=π2−π12, \frac{5\pi}{12} = \frac{6\pi}{12} - \frac{\pi}{12} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{12} , možemo iskoristiti osobinu komplementarnih uglova.

tg5π12=tg(π2−π12)=ctgπ12\text{tg} \frac{5\pi}{12} = \text{tg} \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{12} \right) = \text{ctg} \frac{\pi}{12}

Zamenom dobijenih vrednosti, izraz na levoj strani jednakosti postaje:

tg2π12+1+ctg2π12\text{tg}^2 \frac{\pi}{12} + 1 + \text{ctg}^2 \frac{\pi}{12}

Sada ćemo izraziti tangens i kotangens preko sinusa i kosinusa kako bismo sabrali preostala dva člana.

tg2π12+ctg2π12=sin⁡2π12cos⁡2π12+cos⁡2π12sin⁡2π12\text{tg}^2 \frac{\pi}{12} + \text{ctg}^2 \frac{\pi}{12} = \frac{\sin^2 \frac{\pi}{12}}{\cos^2 \frac{\pi}{12}} + \frac{\cos^2 \frac{\pi}{12}}{\sin^2 \frac{\pi}{12}}

Svodeći na zajednički imenilac dobijamo:

sin⁡4π12+cos⁡4π12sin⁡2π12cos⁡2π12\frac{\sin^4 \frac{\pi}{12} + \cos^4 \frac{\pi}{12}}{\sin^2 \frac{\pi}{12} \cos^2 \frac{\pi}{12}}

Brojilac možemo transformisati dopunom do potpunog kvadrata, koristeći identitet a4+b4=(a2+b2)2−2a2b2 a^4 + b^4 = (a^2 + b^2)^2 - 2a^2b^2 i osnovni trigonometrijski identitet sin⁡2x+cos⁡2x=1. \sin^2 x + \cos^2 x = 1 .

sin⁡4π12+cos⁡4π12=(sin⁡2π12+cos⁡2π12)2−2sin⁡2π12cos⁡2π12=1−2sin⁡2π12cos⁡2π12\sin^4 \frac{\pi}{12} + \cos^4 \frac{\pi}{12} = \left( \sin^2 \frac{\pi}{12} + \cos^2 \frac{\pi}{12} \right)^2 - 2\sin^2 \frac{\pi}{12} \cos^2 \frac{\pi}{12} = 1 - 2\sin^2 \frac{\pi}{12} \cos^2 \frac{\pi}{12}

Za imenilac ćemo iskoristiti formulu za proizvod sinusa i kosinusa: sin⁡αcos⁡β=12(sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β)). \sin \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)) . Za α=β=π12 \alpha = \beta = \frac{\pi}{12} dobijamo:

sin⁡π12cos⁡π12=12(sin⁡(π12+π12)+sin⁡0)=12sin⁡π6\sin \frac{\pi}{12} \cos \frac{\pi}{12} = \frac{1}{2} \left( \sin \left( \frac{\pi}{12} + \frac{\pi}{12} \right) + \sin 0 \right) = \frac{1}{2} \sin \frac{\pi}{6}

Pošto je sin⁡π6=12, \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} , računamo vrednost proizvoda:

sin⁡π12cos⁡π12=12⋅12=14\sin \frac{\pi}{12} \cos \frac{\pi}{12} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}

Sada možemo zameniti ovu vrednost nazad u izraz za zbir kvadrata tangensa i kotangensa.

1−2(14)2(14)2=1−2⋅116116\frac{1 - 2\left(\frac{1}{4}\right)^2}{\left(\frac{1}{4}\right)^2} = \frac{1 - 2 \cdot \frac{1}{16}}{\frac{1}{16}}

Sređujemo dobijeni dvojni razlomak:

1−18116=78116=7⋅168=14\frac{1 - \frac{1}{8}}{\frac{1}{16}} = \frac{\frac{7}{8}}{\frac{1}{16}} = \frac{7 \cdot 16}{8} = 14

Na kraju, dodajemo vrednost srednjeg sabirka koju smo odredili na početku, čime je jednakost dokazana.

14+1=1514 + 1 = 15

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti