2686.

Transformacija zbira i razlike trigonometrijskih funkcija u proizvod

TEKST ZADATKA

Ako je α+β=π4, \alpha + \beta = \frac{\pi}{4} , pokazati da je (1+tg α)(1+tg β)=2. (1 + \text{tg } \alpha)(1 + \text{tg } \beta) = 2 .

REŠENJE ZADATKA

Zapisujemo tangens preko sinusa i kosinusa:

(1+tg α)(1+tg β)=(1+sin⁡αcos⁡α)(1+sin⁡βcos⁡β)(1 + \text{tg } \alpha)(1 + \text{tg } \beta) = \left(1 + \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\right)\left(1 + \frac{\sin \beta}{\cos \beta}\right)

Svaku zagradu svodimo na zajednički imenilac:

=(cos⁡α+sin⁡αcos⁡α)(cos⁡β+sin⁡βcos⁡β)= \left(\frac{\cos \alpha + \sin \alpha}{\cos \alpha}\right)\left(\frac{\cos \beta + \sin \beta}{\cos \beta}\right)

Množimo razlomke i proširujemo brojilac:

=cos⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β+sin⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡βcos⁡αcos⁡β= \frac{\cos \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta + \sin \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta}

Koristimo transformacije proizvoda u zbir za sabirke u brojiocu i imeniocu. Prema poznatim formulama imamo:

cos⁡αcos⁡β=12(cos⁡(α+β)+cos⁡(α−β))sin⁡αsin⁡β=12(cos⁡(α−β)−cos⁡(α+β))sin⁡αcos⁡β=12(sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β))cos⁡αsin⁡β=12(sin⁡(α+β)−sin⁡(α−β))\begin{aligned} \cos \alpha \cos \beta &= \frac{1}{2}(\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)) \\ \sin \alpha \sin \beta &= \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)) \\ \sin \alpha \cos \beta &= \frac{1}{2}(\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)) \\ \cos \alpha \sin \beta &= \frac{1}{2}(\sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta)) \end{aligned}

Zamenjujemo ove izraze u brojilac i grupišemo slične članove:

Brojilac=12(cos⁡(α+β)+cos⁡(α−β))+12(sin⁡(α+β)−sin⁡(α−β))+12(sin⁡(α+β)+sin⁡(α−β))+12(cos⁡(α−β)−cos⁡(α+β))\text{Brojilac} = \frac{1}{2}(\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)) + \frac{1}{2}(\sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta)) + \frac{1}{2}(\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)) + \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta))

Sređivanjem brojioca dobijamo:

Brojilac=cos⁡(α−β)+sin⁡(α+β)\text{Brojilac} = \cos(\alpha - \beta) + \sin(\alpha + \beta)

Kako je dato da je α+β=π4, \alpha + \beta = \frac{\pi}{4} , zamenjujemo tu vrednost u brojilac:

Brojilac=cos⁡(α−β)+sin⁡(π4)=cos⁡(α−β)+22\text{Brojilac} = \cos(\alpha - \beta) + \sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \cos(\alpha - \beta) + \frac{\sqrt{2}}{2}

Sada primenjujemo formulu za proizvod kosinusa na imenilac i zamenjujemo α+β=π4: \alpha + \beta = \frac{\pi}{4} :

Imenilac=cos⁡αcos⁡β=12(cos⁡(α+β)+cos⁡(α−β))=12(cos⁡(π4)+cos⁡(α−β))=12(22+cos⁡(α−β))\text{Imenilac} = \cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)) = \frac{1}{2}\left(\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) + \cos(\alpha - \beta)\right) = \frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \cos(\alpha - \beta)\right)

Vraćamo sređeni brojilac i imenilac u polazni razlomak:

cos⁡(α−β)+2212(22+cos⁡(α−β))\frac{\cos(\alpha - \beta) + \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \cos(\alpha - \beta)\right)}

Skraćujemo razlomak tako što podelimo iste izraze u brojiocu i imeniocu:

=cos⁡(α−β)+2212(cos⁡(α−β)+22)=112=2= \frac{\cos(\alpha - \beta) + \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}\left(\cos(\alpha - \beta) + \frac{\sqrt{2}}{2}\right)} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2

Ovim smo pokazali da je početni izraz zaista jednak 2.

(1+tg α)(1+tg β)=2(1 + \text{tg } \alpha)(1 + \text{tg } \beta) = 2

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti