2685.

Transformacija zbira i razlike trigonometrijskih funkcija u proizvod

TEKST ZADATKA

Odrediti uslove kada važi identitet tg α+tg β+tg γ=tg α tg β tg γ. \text{tg } \alpha + \text{tg } \beta + \text{tg } \gamma = \text{tg } \alpha \text{ tg } \beta \text{ tg } \gamma .

REŠENJE ZADATKA

Zapišimo funkciju tangens preko sinusa i kosinusa (tg x=sin⁡xcos⁡x \text{tg } x = \frac{\sin x}{\cos x} ).

sin⁡αcos⁡α+sin⁡βcos⁡β+sin⁡γcos⁡γ=sin⁡αsin⁡βsin⁡γcos⁡αcos⁡βcos⁡γ\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\sin \beta}{\cos \beta} + \frac{\sin \gamma}{\cos \gamma} = \frac{\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma}{\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma}

Grupišimo prva dva sabirka na levoj strani i svedimo ih na zajednički imenilac.

sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡βcos⁡αcos⁡β+sin⁡γcos⁡γ=sin⁡αsin⁡βsin⁡γcos⁡αcos⁡βcos⁡γ\frac{\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta} + \frac{\sin \gamma}{\cos \gamma} = \frac{\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma}{\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma}

Primenimo adicionu formulu za sinus zbira u brojiocu prvog razlomka.

sin⁡(α+β)cos⁡αcos⁡β+sin⁡γcos⁡γ=sin⁡αsin⁡βsin⁡γcos⁡αcos⁡βcos⁡γ\frac{\sin(\alpha + \beta)}{\cos \alpha \cos \beta} + \frac{\sin \gamma}{\cos \gamma} = \frac{\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma}{\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma}

Pomnožimo celu jednačinu sa zajedničkim imeniocem cos⁡αcos⁡βcos⁡γ. \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma . Ovo smemo da uradimo jer zbog definisanosti tangensa važi cos⁡α≠0, \cos \alpha \neq 0 , cos⁡β≠0 \cos \beta \neq 0 i cos⁡γ≠0. \cos \gamma \neq 0 .

sin⁡(α+β)cos⁡γ+sin⁡γcos⁡αcos⁡β=sin⁡αsin⁡βsin⁡γ\sin(\alpha + \beta) \cos \gamma + \sin \gamma \cos \alpha \cos \beta = \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma

Prebacimo sve članove na levu stranu i grupišimo one koji sadrže sin⁡γ. \sin \gamma .

sin⁡(α+β)cos⁡γ+sin⁡γ(cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β)=0\sin(\alpha + \beta) \cos \gamma + \sin \gamma (\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta) = 0

Iskoristimo poznate formule za pretvaranje proizvoda u zbir kako bismo uprostili izraz u zagradi.

cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β=12(cos⁡(α+β)+cos⁡(α−β))−12(cos⁡(α−β)−cos⁡(α+β))\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta)) - \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta))

Sređivanjem dobijamo formulu za kosinus zbira.

cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β=cos⁡(α+β)\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta = \cos(\alpha + \beta)

Zamenimo dobijeni izraz nazad u jednačinu.

sin⁡(α+β)cos⁡γ+sin⁡γcos⁡(α+β)=0\sin(\alpha + \beta) \cos \gamma + \sin \gamma \cos(\alpha + \beta) = 0

Prepoznajemo adicionu formulu za sinus zbira uglova (α+β) (\alpha + \beta) i γ. \gamma .

sin⁡((α+β)+γ)=0\sin((\alpha + \beta) + \gamma) = 0

Rešimo dobijenu osnovnu trigonometrijsku jednačinu. Sinus je jednak nuli kada je ugao celobrojni umnožak broja π. \pi .

α+β+γ=kπ,k∈Z\alpha + \beta + \gamma = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Konačno, dodajemo uslov definisanosti za funkciju tangens, odnosno da kosinusi uglova ne smeju biti nula (cos⁡x≠0 \cos x \neq 0 ).

α+β+γ=kπ,k∈Zuz uslovα,β,γ≠π2+mπ,m∈Z\alpha + \beta + \gamma = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \quad \text{uz uslov} \quad \alpha, \beta, \gamma \neq \frac{\pi}{2} + m\pi, \quad m \in \mathbb{Z}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti