2684.

Transformacija zbira i razlike trigonometrijskih funkcija u proizvod

TEKST ZADATKA

Dokazati sledeći trigonometrijski identitet:

2+tg 2α+ctg 2α=4cos⁡2(π4−2α)sin⁡4α2 + \text{tg } 2\alpha + \text{ctg } 2\alpha = \frac{4 \cos^2 \left( \frac{\pi}{4} - 2\alpha \right)}{\sin 4\alpha}
REŠENJE ZADATKA

Polazimo od leve strane jednakosti. Izražavamo tangens i kotangens preko sinusa i kosinusa.

2+sin⁡2αcos⁡2α+cos⁡2αsin⁡2α2 + \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} + \frac{\cos 2\alpha}{\sin 2\alpha}

Svodimo razlomke na zajednički imenilac sin⁡2αcos⁡2α. \sin 2\alpha \cos 2\alpha .

2+sin⁡22α+cos⁡22αsin⁡2αcos⁡2α2 + \frac{\sin^2 2\alpha + \cos^2 2\alpha}{\sin 2\alpha \cos 2\alpha}

Primenjujemo osnovni trigonometrijski identitet sin⁡2x+cos⁡2x=1. \sin^2 x + \cos^2 x = 1 .

2+1sin⁡2αcos⁡2α2 + \frac{1}{\sin 2\alpha \cos 2\alpha}

Sabiramo broj 2 sa dobijenim razlomkom.

2sin⁡2αcos⁡2α+1sin⁡2αcos⁡2α\frac{2 \sin 2\alpha \cos 2\alpha + 1}{\sin 2\alpha \cos 2\alpha}

Primenjujemo formulu za sinus dvostrukog ugla sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x \sin 2x = 2 \sin x \cos x na brojilac, a u imeniocu prepoznajemo polovinu sinusa dvostrukog ugla.

sin⁡4α+112sin⁡4α\frac{\sin 4\alpha + 1}{\frac{1}{2} \sin 4\alpha}

Sređujemo dvojni razlomak kako bismo dobili konačan oblik leve strane.

2(sin⁡4α+1)sin⁡4α\frac{2(\sin 4\alpha + 1)}{\sin 4\alpha}

Sada posmatramo desnu stranu jednakosti. Zapisujemo kvadrat kosinusa kao proizvod i primenjujemo formulu za proizvod kosinusa cos⁡xcos⁡y=12(cos⁡(x+y)+cos⁡(x−y)). \cos x \cos y = \frac{1}{2}(\cos(x + y) + \cos(x - y)) .

4⋅12(cos⁡(π4−2α+π4−2α)+cos⁡(π4−2α−(π4−2α)))sin⁡4α\frac{4 \cdot \frac{1}{2} \left( \cos\left(\frac{\pi}{4} - 2\alpha + \frac{\pi}{4} - 2\alpha\right) + \cos\left(\frac{\pi}{4} - 2\alpha - \left(\frac{\pi}{4} - 2\alpha\right)\right) \right)}{\sin 4\alpha}

Sređujemo uglove unutar kosinusa.

2(cos⁡(π2−4α)+cos⁡(0))sin⁡4α\frac{2 \left( \cos\left(\frac{\pi}{2} - 4\alpha\right) + \cos(0) \right)}{\sin 4\alpha}

Znamo da je cos⁡(0)=1, \cos(0) = 1 , a primenom veze za komplementarne uglove imamo cos⁡(π2−4α)=sin⁡4α. \cos\left(\frac{\pi}{2} - 4\alpha\right) = \sin 4\alpha .

2(sin⁡4α+1)sin⁡4α\frac{2(\sin 4\alpha + 1)}{\sin 4\alpha}

Pošto smo pokazali da se i leva i desna strana svode na isti izraz, zaključujemo da je identitet tačan.

2(sin⁡4α+1)sin⁡4α=2(1+sin⁡4α)sin⁡4α\frac{2(\sin 4\alpha + 1)}{\sin 4\alpha} = \frac{2(1 + \sin 4\alpha)}{\sin 4\alpha}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti