Dokaz identiteta: 2 + tg 2α + ctg 2α

Polazimo od leve strane jednakosti. Izražavamo tangens i kotangens preko sinusa i kosinusa.

2 + \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} + \frac{\cos 2\alpha}{\sin 2\alpha}

Svodimo razlomke na zajednički imenilac $\sin 2\alpha \cos 2\alpha .$

2 + \frac{\sin^2 2\alpha + \cos^2 2\alpha}{\sin 2\alpha \cos 2\alpha}

Primenjujemo osnovni trigonometrijski identitet $\sin^2 x + \cos^2 x = 1 .$

2 + \frac{1}{\sin 2\alpha \cos 2\alpha}

Sabiramo broj 2 sa dobijenim razlomkom.

\frac{2 \sin 2\alpha \cos 2\alpha + 1}{\sin 2\alpha \cos 2\alpha}

Primenjujemo formulu za sinus dvostrukog ugla $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ na brojilac, a u imeniocu prepoznajemo polovinu sinusa dvostrukog ugla.

\frac{\sin 4\alpha + 1}{\frac{1}{2} \sin 4\alpha}

Sređujemo dvojni razlomak kako bismo dobili konačan oblik leve strane.

\frac{2(\sin 4\alpha + 1)}{\sin 4\alpha}

Sada posmatramo desnu stranu jednakosti. Zapisujemo kvadrat kosinusa kao proizvod i primenjujemo formulu za proizvod kosinusa $\cos x \cos y = \frac{1}{2}(\cos(x + y) + \cos(x - y)) .$

\frac{4 \cdot \frac{1}{2} \left( \cos\left(\frac{\pi}{4} - 2\alpha + \frac{\pi}{4} - 2\alpha\right) + \cos\left(\frac{\pi}{4} - 2\alpha - \left(\frac{\pi}{4} - 2\alpha\right)\right) \right)}{\sin 4\alpha}

Sređujemo uglove unutar kosinusa.

\frac{2 \left( \cos\left(\frac{\pi}{2} - 4\alpha\right) + \cos(0) \right)}{\sin 4\alpha}

Znamo da je $\cos(0) = 1 ,$ a primenom veze za komplementarne uglove imamo $\cos\left(\frac{\pi}{2} - 4\alpha\right) = \sin 4\alpha .$

\frac{2(\sin 4\alpha + 1)}{\sin 4\alpha}

Pošto smo pokazali da se i leva i desna strana svode na isti izraz, zaključujemo da je identitet tačan.

\frac{2(\sin 4\alpha + 1)}{\sin 4\alpha} = \frac{2(1 + \sin 4\alpha)}{\sin 4\alpha}

Započni učenje

Online časovi

790

Beleške