PrethodniSledeći
2707.

791

TEKST ZADATKA

Izračunati vrednost razlomka sin⁡2α+sin⁡2β+sin⁡2γcos⁡αcos⁡βcos⁡γ, \frac{\sin 2\alpha + \sin 2\beta + \sin 2\gamma}{\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma} , ako je α+β+γ=π2. \alpha + \beta + \gamma = \frac{\pi}{2} .

REŠENJE ZADATKA

Posmatrajmo brojilac razlomka. Primenom formule za zbir sinusa na prva dva člana dobijamo:

sin⁡2α+sin⁡2β=2sin⁡2α+2β2cos⁡2α−2β2=2sin⁡(α+β)cos⁡(α−β)\sin 2\alpha + \sin 2\beta = 2 \sin \frac{2\alpha + 2\beta}{2} \cos \frac{2\alpha - 2\beta}{2} = 2 \sin(\alpha + \beta) \cos(\alpha - \beta)

Iz uslova zadatka imamo da je α+β=π2−γ. \alpha + \beta = \frac{\pi}{2} - \gamma . Primenom osobina komplementarnih uglova važi:

sin⁡(α+β)=sin⁡(π2−γ)=cos⁡γ\sin(\alpha + \beta) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - \gamma\right) = \cos \gamma

Zamenom ovog rezultata, zbir prva dva člana brojioca postaje:

sin⁡2α+sin⁡2β=2cos⁡γcos⁡(α−β)\sin 2\alpha + \sin 2\beta = 2 \cos \gamma \cos(\alpha - \beta)

Sada ceo brojilac možemo zapisati u sledećem obliku, koristeći formulu za sinus dvostrukog ugla sin⁡2γ=2sin⁡γcos⁡γ: \sin 2\gamma = 2 \sin \gamma \cos \gamma :

sin⁡2α+sin⁡2β+sin⁡2γ=2cos⁡γcos⁡(α−β)+2sin⁡γcos⁡γ\sin 2\alpha + \sin 2\beta + \sin 2\gamma = 2 \cos \gamma \cos(\alpha - \beta) + 2 \sin \gamma \cos \gamma

Izvlačenjem zajedničkog faktora 2cos⁡γ 2 \cos \gamma ispred zagrade dobijamo:

2cos⁡γ(cos⁡(α−β)+sin⁡γ)2 \cos \gamma (\cos(\alpha - \beta) + \sin \gamma)

Kako je γ=π2−(α+β), \gamma = \frac{\pi}{2} - (\alpha + \beta) , važi da je sin⁡γ=sin⁡(π2−(α+β))=cos⁡(α+β). \sin \gamma = \sin\left(\frac{\pi}{2} - (\alpha + \beta)\right) = \cos(\alpha + \beta) . Zamenom u izraz u zagradi dobijamo:

2cos⁡γ(cos⁡(α−β)+cos⁡(α+β))2 \cos \gamma (\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta))

Primenom formule za zbir kosinusa na izraz u zagradi dobijamo:

cos⁡(α−β)+cos⁡(α+β)=2cos⁡(α−β)+(α+β)2cos⁡(α−β)−(α+β)2=2cos⁡αcos⁡β\cos(\alpha - \beta) + \cos(\alpha + \beta) = 2 \cos \frac{(\alpha - \beta) + (\alpha + \beta)}{2} \cos \frac{(\alpha - \beta) - (\alpha + \beta)}{2} = 2 \cos \alpha \cos \beta

Zamenom ovog rezultata, konačan oblik brojioca je:

2cos⁡γ(2cos⁡αcos⁡β)=4cos⁡αcos⁡βcos⁡γ2 \cos \gamma (2 \cos \alpha \cos \beta) = 4 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma

Vraćamo dobijeni brojilac u početni razlomak i skraćujemo zajedničke faktore:

4cos⁡αcos⁡βcos⁡γcos⁡αcos⁡βcos⁡γ=4\frac{4 \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma}{\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma} = 4

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se za ocenu