2689.

Transformacija zbira i razlike trigonometrijskih funkcija u proizvod

TEKST ZADATKA

Odrediti sin⁡α+cos⁡αsin⁡α−cos⁡α, \frac{\sin \alpha + \cos \alpha}{\sin \alpha - \cos \alpha} , ako je sin⁡2α=m, \sin 2\alpha = m , m∈(−1,0) m \in (-1, 0) i 2α∈(3π2,2π). 2\alpha \in \left( \frac{3\pi}{2}, 2\pi \right) .

REŠENJE ZADATKA

Obeležimo traženi izraz sa E. E . Da bismo ga lakše izračunali, prvo ćemo ga kvadrirati:

E2=(sin⁡α+cos⁡αsin⁡α−cos⁡α)2E^2 = \left( \frac{\sin \alpha + \cos \alpha}{\sin \alpha - \cos \alpha} \right)^2

Primenom formule za kvadrat binoma na brojilac i imenilac dobijamo:

E2=sin⁡2α+2sin⁡αcos⁡α+cos⁡2αsin⁡2α−2sin⁡αcos⁡α+cos⁡2αE^2 = \frac{\sin^2 \alpha + 2\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha}{\sin^2 \alpha - 2\sin \alpha \cos \alpha + \cos^2 \alpha}

Koristeći osnovni trigonometrijski identitet sin⁡2α+cos⁡2α=1 \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 i formulu za sinus dvostrukog ugla 2sin⁡αcos⁡α=sin⁡2α, 2\sin \alpha \cos \alpha = \sin 2\alpha , izraz se pojednostavljuje:

E2=1+sin⁡2α1−sin⁡2αE^2 = \frac{1 + \sin 2\alpha}{1 - \sin 2\alpha}

Zamenom date vrednosti sin⁡2α=m \sin 2\alpha = m u izraz dobijamo:

E2=1+m1−mE^2 = \frac{1 + m}{1 - m}

Korenujući obe strane, dobijamo dve moguće vrednosti za E: E :

E=±1+m1−mE = \pm \sqrt{\frac{1 + m}{1 - m}}

Da bismo odredili tačan znak izraza, analiziramo dati interval za 2α. 2\alpha . Deljenjem granica intervala sa 2 dobijamo interval za α: \alpha :

α∈(3π4,π)\alpha \in \left( \frac{3\pi}{4}, \pi \right)

U ovom intervalu (deo drugog kvadranta), vrednosti sinusa i kosinusa su ograničene na sledeći način:

0<sin⁡α<22i−1<cos⁡α<−220 < \sin \alpha < \frac{\sqrt{2}}{2} \quad \text{i} \quad -1 < \cos \alpha < -\frac{\sqrt{2}}{2}

Sabiranjem ovih nejednakosti određujemo znak brojioca početnog izraza:

sin⁡α+cos⁡α<22−22  ⟹  sin⁡α+cos⁡α<0\sin \alpha + \cos \alpha < \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \implies \sin \alpha + \cos \alpha < 0

Zatim određujemo znak imenioca. Pošto je sinus pozitivan, a kosinus negativan, njihova razlika je pozitivna:

sin⁡α−cos⁡α>0\sin \alpha - \cos \alpha > 0

Pošto je brojilac negativan, a imenilac pozitivan, ceo izraz E E mora biti negativan:

E<0E < 0

Zato biramo negativno rešenje. Konačan rezultat je:

E=−1+m1−mE = -\sqrt{\frac{1 + m}{1 - m}}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti