PrethodniSledeći
2691.

793.a

TEKST ZADATKA

Dokazati da iz svake od relacija a) i b) sledi da je trougao pravougli: sin⁡α=sin⁡β+sin⁡γcos⁡β+cos⁡γ \sin \alpha = \frac{\sin \beta + \sin \gamma}{\cos \beta + \cos \gamma}

REŠENJE ZADATKA

Primenjujemo formule za transformaciju zbira trigonometrijskih funkcija u proizvod na desnu stranu jednakosti.

sin⁡β+sin⁡γcos⁡β+cos⁡γ=2sin⁡β+γ2cos⁡β−γ22cos⁡β+γ2cos⁡β−γ2\frac{\sin \beta + \sin \gamma}{\cos \beta + \cos \gamma} = \frac{2 \sin \frac{\beta + \gamma}{2} \cos \frac{\beta - \gamma}{2}}{2 \cos \frac{\beta + \gamma}{2} \cos \frac{\beta - \gamma}{2}}

Skraćujemo razlomak sa 2cos⁡β−γ2. 2 \cos \frac{\beta - \gamma}{2} . Ovo je dozvoljeno jer su β \beta i γ \gamma uglovi u trouglu, pa je −π2<β−γ2<π2, -\frac{\pi}{2} < \frac{\beta - \gamma}{2} < \frac{\pi}{2} , što znači da je kosinus uvek strogo pozitivan.

2sin⁡β+γ2cos⁡β−γ22cos⁡β+γ2cos⁡β−γ2=sin⁡β+γ2cos⁡β+γ2=tan⁡β+γ2\frac{2 \sin \frac{\beta + \gamma}{2} \cos \frac{\beta - \gamma}{2}}{2 \cos \frac{\beta + \gamma}{2} \cos \frac{\beta - \gamma}{2}} = \frac{\sin \frac{\beta + \gamma}{2}}{\cos \frac{\beta + \gamma}{2}} = \tan \frac{\beta + \gamma}{2}

Znamo da je zbir uglova u trouglu α+β+γ=π, \alpha + \beta + \gamma = \pi , pa možemo izraziti β+γ2 \frac{\beta + \gamma}{2} preko ugla α. \alpha .

β+γ2=π−α2=π2−α2\frac{\beta + \gamma}{2} = \frac{\pi - \alpha}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{\alpha}{2}

Zamenjujemo dobijeni izraz u tangens i koristimo osobinu komplementarnih uglova.

tan⁡(π2−α2)=cot⁡α2\tan \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\alpha}{2} \right) = \cot \frac{\alpha}{2}

Sada početna jednakost iz zadatka dobija jednostavniji oblik.

sin⁡α=cot⁡α2\sin \alpha = \cot \frac{\alpha}{2}

Izražavamo sin⁡α \sin \alpha preko formule za sinus dvostrukog ugla, a kotangens preko sinusa i kosinusa.

2sin⁡α2cos⁡α2=cos⁡α2sin⁡α22 \sin \frac{\alpha}{2} \cos \frac{\alpha}{2} = \frac{\cos \frac{\alpha}{2}}{\sin \frac{\alpha}{2}}

Pošto je α \alpha ugao u trouglu, važi 0<α<π, 0 < \alpha < \pi , pa je cos⁡α2≠0 \cos \frac{\alpha}{2} \neq 0 i sin⁡α2≠0. \sin \frac{\alpha}{2} \neq 0 . Delimo jednačinu sa cos⁡α2 \cos \frac{\alpha}{2} i množimo sa sin⁡α2. \sin \frac{\alpha}{2} .

2sin⁡2α2=12 \sin^2 \frac{\alpha}{2} = 1

Računamo vrednost za sin⁡α2. \sin \frac{\alpha}{2} . Uzimamo samo pozitivnu vrednost korena jer je sinus pozitivan za uglove između 0 0 i π2. \frac{\pi}{2} .

sin⁡2α2=12  ⟹  sin⁡α2=22\sin^2 \frac{\alpha}{2} = \frac{1}{2} \implies \sin \frac{\alpha}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}

Određujemo ugao α. \alpha .

α2=π4  ⟹  α=π2\frac{\alpha}{2} = \frac{\pi}{4} \implies \alpha = \frac{\pi}{2}

Pošto je ugao α \alpha jednak π2 \frac{\pi}{2} (odnosno 90∘ 90^\circ ), dokazali smo da je trougao pravougli.

α=90∘\alpha = 90^\circ

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se za ocenu