Sinus i kosinus od pi/4 plus alfa iz tangensa

Prvo moramo odrediti vrednosti $\sin \alpha$ i $\cos \alpha .$ Koristimo vezu između tangensa i kosinusa: $1 + \text{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} .$

1 + \left(-\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \implies 1 + \frac{9}{16} = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \implies \frac{25}{16} = \frac{1}{\cos^2 \alpha}

Odavde dobijamo vrednost za $\cos^2 \alpha :$

\cos^2 \alpha = \frac{16}{25}

Pošto je $\alpha \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) ,$ ugao se nalazi u drugom kvadrantu gde je kosinus negativan.

\cos \alpha = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5}

Sada računamo $\sin \alpha$ koristeći osnovni trigonometrijski identitet ili definiciju tangensa $\text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} :$

\sin \alpha = \text{tg} \alpha \cdot \cos \alpha = \left(-\frac{3}{4}\right) \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) = \frac{3}{5}

Primenjujemo adicionu formulu za sinus: $\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta ,$ gde je $\beta = \frac{\pi}{4} .$ Znamo da je $\sin \frac{\pi}{4} = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} .$

\sin\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \sin \frac{\pi}{4} \cos \alpha + \cos \frac{\pi}{4} \sin \alpha

Zamenjujemo dobijene vrednosti i izvlačimo zajednički faktor:

\sin\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{3}{5} = \frac{\sqrt{2}}{2} \left(-\frac{4}{5} + \frac{3}{5}\right)

Sređujemo izraz za sinus:

\sin\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \left(-\frac{1}{5}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{10}

Primenjujemo adicionu formulu za kosinus: $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta .$

\cos\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \cos \frac{\pi}{4} \cos \alpha - \sin \frac{\pi}{4} \sin \alpha

Zamenjujemo vrednosti i izvlačimo zajednički faktor:

\cos\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{3}{5} = \frac{\sqrt{2}}{2} \left(-\frac{4}{5} - \frac{3}{5}\right)

Sređujemo izraz za kosinus:

\cos\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \left(-\frac{7}{5}\right) = -\frac{7\sqrt{2}}{10}

Započni učenje

Online časovi

649.v

Beleške