PrethodniSledeći
2442.

649.v

TEKST ZADATKA

Izračunati: sin⁡(π4+α) \sin\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) i cos⁡(π4+α), \cos\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) , ako je tgα=−34 \text{tg} \alpha = -\frac{3}{4} i α∈(π2,π). \alpha \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) .

REŠENJE ZADATKA

Prvo moramo odrediti vrednosti sin⁡α \sin \alpha i cos⁡α. \cos \alpha . Koristimo vezu između tangensa i kosinusa: 1+tg2α=1cos⁡2α. 1 + \text{tg}^2 \alpha = \frac{1}{\cos^2 \alpha} .

1+(−34)2=1cos⁡2α  ⟹  1+916=1cos⁡2α  ⟹  2516=1cos⁡2α1 + \left(-\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \implies 1 + \frac{9}{16} = \frac{1}{\cos^2 \alpha} \implies \frac{25}{16} = \frac{1}{\cos^2 \alpha}

Odavde dobijamo vrednost za cos⁡2α: \cos^2 \alpha :

cos⁡2α=1625\cos^2 \alpha = \frac{16}{25}

Pošto je α∈(π2,π), \alpha \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) , ugao se nalazi u drugom kvadrantu gde je kosinus negativan.

cos⁡α=−1625=−45\cos \alpha = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5}

Sada računamo sin⁡α \sin \alpha koristeći osnovni trigonometrijski identitet ili definiciju tangensa tgα=sin⁡αcos⁡α: \text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} :

sin⁡α=tgα⋅cos⁡α=(−34)⋅(−45)=35\sin \alpha = \text{tg} \alpha \cdot \cos \alpha = \left(-\frac{3}{4}\right) \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) = \frac{3}{5}

Primenjujemo adicionu formulu za sinus: sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β, \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta , gde je β=π4. \beta = \frac{\pi}{4} . Znamo da je sin⁡π4=cos⁡π4=22. \sin \frac{\pi}{4} = \cos \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2} .

sin⁡(π4+α)=sin⁡π4cos⁡α+cos⁡π4sin⁡α\sin\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \sin \frac{\pi}{4} \cos \alpha + \cos \frac{\pi}{4} \sin \alpha

Zamenjujemo dobijene vrednosti i izvlačimo zajednički faktor:

sin⁡(π4+α)=22⋅(−45)+22⋅35=22(−45+35)\sin\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{3}{5} = \frac{\sqrt{2}}{2} \left(-\frac{4}{5} + \frac{3}{5}\right)

Sređujemo izraz za sinus:

sin⁡(π4+α)=22⋅(−15)=−210\sin\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \left(-\frac{1}{5}\right) = -\frac{\sqrt{2}}{10}

Primenjujemo adicionu formulu za kosinus: cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β. \cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta .

cos⁡(π4+α)=cos⁡π4cos⁡α−sin⁡π4sin⁡α\cos\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \cos \frac{\pi}{4} \cos \alpha - \sin \frac{\pi}{4} \sin \alpha

Zamenjujemo vrednosti i izvlačimo zajednički faktor:

cos⁡(π4+α)=22⋅(−45)−22⋅35=22(−45−35)\cos\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{3}{5} = \frac{\sqrt{2}}{2} \left(-\frac{4}{5} - \frac{3}{5}\right)

Sređujemo izraz za kosinus:

cos⁡(π4+α)=22⋅(−75)=−7210\cos\left(\frac{\pi}{4} + \alpha\right) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \left(-\frac{7}{5}\right) = -\frac{7\sqrt{2}}{10}

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se za ocenu