2449.

Adicione formule

TEKST ZADATKA

Izračunati: cos⁡(α+β) \cos(\alpha + \beta) i cos⁡(α−β), \cos(\alpha - \beta) , ako je sin⁡α=817, \sin \alpha = \frac{8}{17} , cos⁡β=35 \cos \beta = \frac{3}{5} i α∈(π2,π), \alpha \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) , β∈(3π2,2π). \beta \in \left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right) .

REŠENJE ZADATKA

Prvo računamo cos⁡α. \cos \alpha . Kako α \alpha pripada drugom kvadrantu (π2,π), \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) , kosinus je negativan.

cos⁡2α=1−sin⁡2α=1−(817)2=1−64289=225289\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha = 1 - \left(\frac{8}{17}\right)^2 = 1 - \frac{64}{289} = \frac{225}{289}

Pošto je α \alpha u drugom kvadrantu, uzimamo negativnu vrednost korena:

cos⁡α=−225289=−1517\cos \alpha = -\sqrt{\frac{225}{289}} = -\frac{15}{17}

Zatim računamo sin⁡β. \sin \beta . Kako β \beta pripada četvrtom kvadrantu (3π2,2π), \left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right) , sinus je negativan.

sin⁡2β=1−cos⁡2β=1−(35)2=1−925=1625\sin^2 \beta = 1 - \cos^2 \beta = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}

Pošto je β \beta u četvrtom kvadrantu, uzimamo negativnu vrednost korena:

sin⁡β=−1625=−45\sin \beta = -\sqrt{\frac{16}{25}} = -\frac{4}{5}

Sada primenjujemo adicionu formulu za cos⁡(α+β): \cos(\alpha + \beta) :

cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta

Zamenjujemo dobijene vrednosti i računamo rezultat:

cos⁡(α+β)=(−1517)⋅35−817⋅(−45)=−4585+3285=−1385\cos(\alpha + \beta) = \left(-\frac{15}{17}\right) \cdot \frac{3}{5} - \frac{8}{17} \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) = -\frac{45}{85} + \frac{32}{85} = -\frac{13}{85}

Primenjujemo adicionu formulu za cos⁡(α−β): \cos(\alpha - \beta) :

cos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta

Zamenjujemo dobijene vrednosti i računamo rezultat:

cos⁡(α−β)=(−1517)⋅35+817⋅(−45)=−4585−3285=−7785\cos(\alpha - \beta) = \left(-\frac{15}{17}\right) \cdot \frac{3}{5} + \frac{8}{17} \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) = -\frac{45}{85} - \frac{32}{85} = -\frac{77}{85}

Konačna rešenja su:

cos⁡(α+β)=−1385,cos⁡(α−β)=−7785\cos(\alpha + \beta) = -\frac{13}{85}, \quad \cos(\alpha - \beta) = -\frac{77}{85}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti