2445.

Adicione formule

TEKST ZADATKA

Izračunati: sin⁡(α+β) \sin(\alpha + \beta) i sin⁡(α−β), \sin(\alpha - \beta) , ako je cos⁡α=45, \cos \alpha = \frac{4}{5} , sin⁡β=−35 \sin \beta = -\frac{3}{5} i α∈(3π2,2π), \alpha \in \left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right) , β∈(π,3π2). \beta \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) .

REŠENJE ZADATKA

Da bismo primenili adicione formule za sinus zbira i razlike, prvo moramo odrediti sin⁡α \sin \alpha i cos⁡β. \cos \beta . Koristimo osnovni trigonometrijski identitet sin⁡2x+cos⁡2x=1. \sin^2 x + \cos^2 x = 1 .

Računamo sin⁡α. \sin \alpha . Iz sin⁡2α=1−cos⁡2α \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha sledi:

sin⁡α=±1−(45)2=±1−1625=±925=±35\sin \alpha = \pm \sqrt{1 - \left(\frac{4}{5}\right)^2} = \pm \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \pm \sqrt{\frac{9}{25}} = \pm \frac{3}{5}

Kako α \alpha pripada četvrtom kvadrantu (3π2,2π), \left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right) , sinus je u tom intervalu negativan:

sin⁡α=−35\sin \alpha = -\frac{3}{5}

Računamo cos⁡β. \cos \beta . Iz cos⁡2β=1−sin⁡2β \cos^2 \beta = 1 - \sin^2 \beta sledi:

cos⁡β=±1−(−35)2=±1−925=±1625=±45\cos \beta = \pm \sqrt{1 - \left(-\frac{3}{5}\right)^2} = \pm \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \pm \sqrt{\frac{16}{25}} = \pm \frac{4}{5}

Kako β \beta pripada trećem kvadrantu (π,3π2), \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) , kosinus je u tom intervalu negativan:

cos⁡β=−45\cos \beta = -\frac{4}{5}

Sada primenjujemo adicionu formulu za sin⁡(α+β): \sin(\alpha + \beta) :

sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta

Zamenjujemo dobijene vrednosti:

sin⁡(α+β)=(−35)⋅(−45)+45⋅(−35)=1225−1225=0\sin(\alpha + \beta) = \left(-\frac{3}{5}\right) \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) + \frac{4}{5} \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) = \frac{12}{25} - \frac{12}{25} = 0

Zatim primenjujemo adicionu formulu za sin⁡(α−β): \sin(\alpha - \beta) :

sin⁡(α−β)=sin⁡αcos⁡β−cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha - \beta) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta

Zamenjujemo vrednosti i izvlačimo zajednički faktor radi preglednosti:

sin⁡(α−β)=(−35)⋅(−45)−45⋅(−35)=1225+1225=2425\sin(\alpha - \beta) = \left(-\frac{3}{5}\right) \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) - \frac{4}{5} \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) = \frac{12}{25} + \frac{12}{25} = \frac{24}{25}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti