PrethodniSledeći
2451.

650

TEKST ZADATKA

Odrediti sin⁡(α+β), \sin(\alpha + \beta) , ako je cos⁡α=cos⁡β=−45 \cos \alpha = \cos \beta = -\frac{4}{5} i α∈(π2,π), \alpha \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) , β∈(π,3π2). \beta \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) .

REŠENJE ZADATKA

Prvo koristimo osnovni trigonometrijski identitet sin⁡2x+cos⁡2x=1 \sin^2 x + \cos^2 x = 1 kako bismo odredili vrednosti za sin⁡α \sin \alpha i sin⁡β. \sin \beta .

sin⁡2x=1−cos⁡2x  ⟹  sin⁡x=±1−cos⁡2x\sin^2 x = 1 - \cos^2 x \implies \sin x = \pm \sqrt{1 - \cos^2 x}

Računamo vrednost za sin⁡α. \sin \alpha . Pošto α \alpha pripada drugom kvadrantu (π2,π), \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) , sinus je u tom intervalu pozitivan.

sin⁡α=1−(−45)2=1−1625=925=35\sin \alpha = \sqrt{1 - \left(-\frac{4}{5}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}

Računamo vrednost za sin⁡β. \sin \beta . Pošto β \beta pripada trećem kvadrantu (π,3π2), \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) , sinus je u tom intervalu negativan.

sin⁡β=−1−(−45)2=−1−1625=−925=−35\sin \beta = -\sqrt{1 - \left(-\frac{4}{5}\right)^2} = -\sqrt{1 - \frac{16}{25}} = -\sqrt{\frac{9}{25}} = -\frac{3}{5}

Sada koristimo adicionu formulu za sinus zbira dva ugla.

sin⁡(α+β)=sin⁡αcos⁡β+cos⁡αsin⁡β\sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta

Zamenjujemo dobijene i date vrednosti u formulu.

sin⁡(α+β)=35⋅(−45)+(−45)⋅(−35)\sin(\alpha + \beta) = \frac{3}{5} \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) + \left(-\frac{4}{5}\right) \cdot \left(-\frac{3}{5}\right)

Izvlačimo zajednički faktor radi lakšeg računanja i sređujemo izraz.

sin⁡(α+β)=35⋅(−45)+45⋅35=−1225+1225=0\sin(\alpha + \beta) = \frac{3}{5} \cdot \left(-\frac{4}{5}\right) + \frac{4}{5} \cdot \frac{3}{5} = -\frac{12}{25} + \frac{12}{25} = 0

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se za ocenu