2446. Adicione formule | Balkan Tutor

Prvo koristimo adicionu formulu za kosinus razlike: $\cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta .$ U našem slučaju, izraz postaje:

\cos\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right) = \cos \frac{\pi}{3} \cos \alpha + \sin \frac{\pi}{3} \sin \alpha

Znamo vrednosti trigonometrijskih funkcija za ugao $\frac{\pi}{3} :$

\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}, \quad \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}

Da bismo izračunali traženi izraz, potrebna nam je vrednost $\sin \alpha .$ Koristimo osnovni trigonometrijski identitet:

\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \implies \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha

Zamenjujemo datu vrednost $\cos \alpha = \frac{2}{5} :$

\sin^2 \alpha = 1 - \left(\frac{2}{5}\right)^2 = 1 - \frac{4}{25} = \frac{21}{25}

S obzirom na to da ugao $\alpha$ pripada četvrtom kvadrantu $\left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right) ,$ sinus tog ugla mora biti negativan:

\sin \alpha = -\sqrt{\frac{21}{25}} = -\frac{\sqrt{21}}{5}

Sada menjamo sve poznate vrednosti u početnu formulu:

\cos\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{21}}{5}\right)

Sređujemo izraz množenjem razlomaka:

\cos\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right) = \frac{2}{10} - \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{7}}{10} = \frac{2}{10} - \frac{3\sqrt{7}}{10}

Izvlačimo zajednički faktor $\frac{1}{10}$ da bismo dobili konačan oblik:

\cos\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right) = \frac{1}{10} (2 - 3\sqrt{7})

651.a