2446.

Adicione formule

TEKST ZADATKA

Izračunati: cos⁡(π3−α), \cos\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right) , ako je cos⁡α=25 \cos \alpha = \frac{2}{5} i

\alpha \in \left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi ight) .

REŠENJE ZADATKA

Prvo koristimo adicionu formulu za kosinus razlike: cos⁡(α−β)=cos⁡αcos⁡β+sin⁡αsin⁡β. \cos(\alpha - \beta) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta . U našem slučaju, izraz postaje:

cos⁡(π3−α)=cos⁡π3cos⁡α+sin⁡π3sin⁡α\cos\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right) = \cos \frac{\pi}{3} \cos \alpha + \sin \frac{\pi}{3} \sin \alpha

Znamo vrednosti trigonometrijskih funkcija za ugao π3: \frac{\pi}{3} :

cos⁡π3=12,sin⁡π3=32\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}, \quad \sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}

Da bismo izračunali traženi izraz, potrebna nam je vrednost sin⁡α. \sin \alpha . Koristimo osnovni trigonometrijski identitet:

sin⁡2α+cos⁡2α=1  ⟹  sin⁡2α=1−cos⁡2α\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \implies \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha

Zamenjujemo datu vrednost cos⁡α=25: \cos \alpha = \frac{2}{5} :

sin⁡2α=1−(25)2=1−425=2125\sin^2 \alpha = 1 - \left(\frac{2}{5}\right)^2 = 1 - \frac{4}{25} = \frac{21}{25}

S obzirom na to da ugao α \alpha pripada četvrtom kvadrantu (3π2,2π), \left(\frac{3\pi}{2}, 2\pi\right) , sinus tog ugla mora biti negativan:

sin⁡α=−2125=−215\sin \alpha = -\sqrt{\frac{21}{25}} = -\frac{\sqrt{21}}{5}

Sada menjamo sve poznate vrednosti u početnu formulu:

cos⁡(π3−α)=12⋅25+32⋅(−215)\cos\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \left(-\frac{\sqrt{21}}{5}\right)

Sređujemo izraz množenjem razlomaka:

cos⁡(π3−α)=210−3⋅3⋅710=210−3710\cos\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right) = \frac{2}{10} - \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{7}}{10} = \frac{2}{10} - \frac{3\sqrt{7}}{10}

Izvlačimo zajednički faktor 110 \frac{1}{10} da bismo dobili konačan oblik:

cos⁡(π3−α)=110(2−37)\cos\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right) = \frac{1}{10} (2 - 3\sqrt{7})

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti