2447.

Adicione formule

TEKST ZADATKA

Izračunati: sin⁡(π6+α), \sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) , ako je

\sin \alpha = rac{1}{3}
i α∈(0,π2). \alpha \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) .

REŠENJE ZADATKA

Prvo koristimo adicionu formulu za sinus zbira kako bismo razložili traženi izraz:

sin⁡(π6+α)=sin⁡π6cos⁡α+cos⁡π6sin⁡α\sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) = \sin \frac{\pi}{6} \cos \alpha + \cos \frac{\pi}{6} \sin \alpha

Poznate su nam vrednosti trigonometrijskih funkcija za ugao π6: \frac{\pi}{6} :

sin⁡π6=12,cos⁡π6=32\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}, \quad \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}

Da bismo izračunali vrednost celog izraza, nedostaje nam vrednost cos⁡α. \cos \alpha . Koristimo osnovni trigonometrijski identitet:

sin⁡2α+cos⁡2α=1  ⟹  cos⁡2α=1−sin⁡2α\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \implies \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha

Zamenjujemo datu vrednost sin⁡α=13 \sin \alpha = \frac{1}{3} u identitet:

cos⁡2α=1−(13)2=1−19=89\cos^2 \alpha = 1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}

Kako ugao α \alpha pripada prvom kvadrantu (0,π2), \left(0, \frac{\pi}{2}\right) , kosinus je pozitivan, pa računamo koren:

cos⁡α=89=4⋅23=223\cos \alpha = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{\sqrt{4 \cdot 2}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3}

Sada sve dobijene vrednosti uvrštavamo u početnu formulu:

sin⁡(π6+α)=12⋅223+32⋅13\sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{3}

Sređujemo izraz množenjem razlomaka:

sin⁡(π6+α)=226+36\sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) = \frac{2\sqrt{2}}{6} + \frac{\sqrt{3}}{6}

Izvlačimo zajednički faktor u brojiocu kako bismo dobili konačan oblik:

sin⁡(π6+α)=16(22+3)\sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) = \frac{1}{6}(2\sqrt{2} + \sqrt{3})

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti