2447. Adicione formule | Balkan Tutor

Prvo koristimo adicionu formulu za sinus zbira kako bismo razložili traženi izraz:

\sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) = \sin \frac{\pi}{6} \cos \alpha + \cos \frac{\pi}{6} \sin \alpha

Poznate su nam vrednosti trigonometrijskih funkcija za ugao $\frac{\pi}{6} :$

\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}, \quad \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}

Da bismo izračunali vrednost celog izraza, nedostaje nam vrednost $\cos \alpha .$ Koristimo osnovni trigonometrijski identitet:

\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \implies \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha

Zamenjujemo datu vrednost $\sin \alpha = \frac{1}{3}$ u identitet:

\cos^2 \alpha = 1 - \left(\frac{1}{3}\right)^2 = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9}

Kako ugao $\alpha$ pripada prvom kvadrantu $\left(0, \frac{\pi}{2}\right) ,$ kosinus je pozitivan, pa računamo koren:

\cos \alpha = \sqrt{\frac{8}{9}} = \frac{\sqrt{4 \cdot 2}}{3} = \frac{2\sqrt{2}}{3}

Sada sve dobijene vrednosti uvrštavamo u početnu formulu:

\sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2\sqrt{2}}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{3}

Sređujemo izraz množenjem razlomaka:

\sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) = \frac{2\sqrt{2}}{6} + \frac{\sqrt{3}}{6}

Izvlačimo zajednički faktor u brojiocu kako bismo dobili konačan oblik:

\sin\left(\frac{\pi}{6} + \alpha\right) = \frac{1}{6}(2\sqrt{2} + \sqrt{3})

651.b