PrethodniSledeći
2450.

647

TEKST ZADATKA

Odrediti cos⁡(α+β), \cos(\alpha + \beta) , ako je sin⁡α=sin⁡β=513 \sin \alpha = \sin \beta = \frac{5}{13} i α∈(0,π2), \alpha \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right) , β∈(π2,π). \beta \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) .

REŠENJE ZADATKA

Prvo koristimo adicionu formulu za kosinus zbira dva ugla.

cos⁡(α+β)=cos⁡αcos⁡β−sin⁡αsin⁡β\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta

Pošto su nam poznate vrednosti za sin⁡α \sin \alpha i sin⁡β, \sin \beta , potrebno je da odredimo cos⁡α \cos \alpha i cos⁡β \cos \beta koristeći osnovni trigonometrijski identitet sin⁡2x+cos⁡2x=1. \sin^2 x + \cos^2 x = 1 .

cos⁡2α=1−sin⁡2αicos⁡2β=1−sin⁡2β\cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha \quad \text{i} \quad \cos^2 \beta = 1 - \sin^2 \beta

Računamo vrednost za cos⁡α. \cos \alpha . Kako α \alpha pripada prvom kvadrantu (0,π2), \left(0, \frac{\pi}{2}\right) , kosinus je pozitivan.

cos⁡α=1−(513)2=1−25169=144169=1213\cos \alpha = \sqrt{1 - \left(\frac{5}{13}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{25}{169}} = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13}

Računamo vrednost za cos⁡β. \cos \beta . Kako β \beta pripada drugom kvadrantu (π2,π), \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) , kosinus je negativan.

cos⁡β=−1−(513)2=−1−25169=−144169=−1213\cos \beta = -\sqrt{1 - \left(\frac{5}{13}\right)^2} = -\sqrt{1 - \frac{25}{169}} = -\sqrt{\frac{144}{169}} = -\frac{12}{13}

Sada menjamo dobijene vrednosti u početnu formulu.

cos⁡(α+β)=1213⋅(−1213)−513⋅513\cos(\alpha + \beta) = \frac{12}{13} \cdot \left(-\frac{12}{13}\right) - \frac{5}{13} \cdot \frac{5}{13}

Izračunavamo finalni rezultat izvlačenjem zajedničkog faktora u imeniocu.

cos⁡(α+β)=−144169−25169=1169(−144−25)=−169169=−1\cos(\alpha + \beta) = -\frac{144}{169} - \frac{25}{169} = \frac{1}{169}(-144 - 25) = -\frac{169}{169} = -1

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se za ocenu