2676. Transformacija zbira i razlike trigonometrijskih funkcija u proizvod

Zapisujemo izraz $4 \cos^2 \alpha$ kao $2 \cdot (2 \cos \alpha \cos \alpha)$ kako bismo iskoristili formulu za proizvod trigonometrijskih funkcija.

1 - 4 \cos^2 \alpha = 1 - 2(2 \cos \alpha \cos \alpha)

Primenjujemo datu formulu za proizvod kosinusa: $\cos \alpha \cos \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta))$ za slučaj kada je $\beta = \alpha .$

1 - 2 \left( 2 \cdot \frac{1}{2} (\cos(\alpha + \alpha) + \cos(\alpha - \alpha)) \right) = 1 - 2(\cos 2\alpha + \cos 0)

Zamenjujemo vrednost $\cos 0 = 1$ i oslobađamo se zagrade.

1 - 2(\cos 2\alpha + 1) = 1 - 2 \cos 2\alpha - 2 = -1 - 2 \cos 2\alpha

Izvlačimo zajednički faktor $-2$ ispred zagrade kako bismo u zagradi dobili zbir koji možemo transformisati.

-1 - 2 \cos 2\alpha = -2 \left( \frac{1}{2} + \cos 2\alpha \right)

Zamenjujemo $\frac{1}{2}$ sa $\cos \frac{\pi}{3} .$

-2 \left( \cos \frac{\pi}{3} + \cos 2\alpha \right)

Primenjujemo formulu za transformaciju zbira kosinusa u proizvod: $\cos x + \cos y = 2 \cos \frac{x+y}{2} \cos \frac{x-y}{2} .$

-2 \left( 2 \cos \frac{\frac{\pi}{3} + 2\alpha}{2} \cos \frac{\frac{\pi}{3} - 2\alpha}{2} \right)

Množimo konstante i delimo argumente sa $2$ kako bismo dobili konačan proizvod.

-4 \cos \left( \frac{\pi}{6} + \alpha \right) \cos \left( \frac{\pi}{6} - \alpha \right)

774.a