2675.

Transformacija zbira i razlike trigonometrijskih funkcija u proizvod

TEKST ZADATKA

Transformisati u proizvod: 3−4sin⁡2x 3 - 4 \sin^2 x

3−4sin⁡2x3 - 4 \sin^2 x
REŠENJE ZADATKA

Zapisujemo sin⁡2x \sin^2 x kao proizvod sin⁡xsin⁡x \sin x \sin x kako bismo primenili datu formulu za pretvaranje proizvoda u zbir: sin⁡αsin⁡β=12(cos⁡(α−β)−cos⁡(α+β)). \sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)) .

3−4sin⁡xsin⁡x3 - 4 \sin x \sin x

Primenjujemo navedenu formulu za α=x \alpha = x i β=x. \beta = x .

3−4⋅12(cos⁡(x−x)−cos⁡(x+x))3 - 4 \cdot \frac{1}{2} (\cos(x - x) - \cos(x + x))

Sređujemo izraz znajući da je cos⁡(0)=1. \cos(0) = 1 .

3−2(1−cos⁡2x)3 - 2 (1 - \cos 2x)

Oslobađamo se zagrade i grupišemo članove.

3−2+2cos⁡2x=1+2cos⁡2x3 - 2 + 2 \cos 2x = 1 + 2 \cos 2x

Izdvajamo broj 2 2 ispred zagrade kako bismo dobili poznatu vrednost kosinusa.

2(12+cos⁡2x)2 \left( \frac{1}{2} + \cos 2x \right)

Prepoznajemo da je 12=cos⁡π3 \frac{1}{2} = \cos \frac{\pi}{3} i zamenjujemo tu vrednost.

2(cos⁡π3+cos⁡2x)2 \left( \cos \frac{\pi}{3} + \cos 2x \right)

Primenjujemo formulu za transformaciju zbira kosinusa u proizvod: cos⁡α+cos⁡β=2cos⁡α+β2cos⁡α−β2. \cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} .

2(2cos⁡π3+2x2cos⁡π3−2x2)2 \left( 2 \cos \frac{\frac{\pi}{3} + 2x}{2} \cos \frac{\frac{\pi}{3} - 2x}{2} \right)

Sređujemo argumente deljenjem sa 2 2 i množimo konstante ispred zagrade kako bismo dobili konačan proizvod.

4cos⁡(π6+x)cos⁡(π6−x)4 \cos \left( \frac{\pi}{6} + x \right) \cos \left( \frac{\pi}{6} - x \right)

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti