2697.

Transformacija zbira i razlike trigonometrijskih funkcija u proizvod

TEKST ZADATKA

Dokazati identitet:

1−sin⁡x=2sin⁡2(π4−x2)1 - \sin x = 2 \sin^2 \left( \frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} \right)
REŠENJE ZADATKA

Polazimo od desne strane identiteta. Kvadrat sinusa možemo zapisati kao proizvod dva ista sinusa.

2sin⁡2(π4−x2)=2sin⁡(π4−x2)sin⁡(π4−x2)2 \sin^2 \left( \frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} \right) = 2 \sin \left( \frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} \right) \sin \left( \frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} \right)

Primenjujemo formulu za pretvaranje proizvoda sinusa u zbir: sin⁡αsin⁡β=12(cos⁡(α−β)−cos⁡(α+β)), \sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)) , gde je α=β=π4−x2. \alpha = \beta = \frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} .

2⋅12(cos⁡((π4−x2)−(π4−x2))−cos⁡((π4−x2)+(π4−x2)))2 \cdot \frac{1}{2} \left( \cos\left( \left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right) - \left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right) \right) - \cos\left( \left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right) + \left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right) \right) \right)

Sređujemo izraz unutar kosinusa. U prvom kosinusu se argumenti potiru, dok se u drugom sabiraju.

cos⁡(0)−cos⁡(2(π4−x2))\cos(0) - \cos\left( 2 \left( \frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} \right) \right)

Znamo da je cos⁡(0)=1. \cos(0) = 1 . Množenjem zagrade sa 2 u drugom kosinusu dobijamo:

1−cos⁡(π2−x)1 - \cos\left( \frac{\pi}{2} - x \right)

Koristeći vezu između sinusa i kosinusa komplementarnih uglova cos⁡(π2−x)=sin⁡x, \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin x , dobijamo levu stranu identiteta.

1−sin⁡x1 - \sin x

Time smo pokazali da je desna strana jednaka levoj, čime je identitet uspešno dokazan.

1−sin⁡x=2sin⁡2(π4−x2)1 - \sin x = 2 \sin^2 \left( \frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} \right)

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti