2697. Transformacija zbira i razlike trigonometrijskih funkcija u proizvod

Polazimo od desne strane identiteta. Kvadrat sinusa možemo zapisati kao proizvod dva ista sinusa.

2 \sin^2 \left( \frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} \right) = 2 \sin \left( \frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} \right) \sin \left( \frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} \right)

Primenjujemo formulu za pretvaranje proizvoda sinusa u zbir: $\sin \alpha \sin \beta = \frac{1}{2}(\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)) ,$ gde je $\alpha = \beta = \frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} .$

2 \cdot \frac{1}{2} \left( \cos\left( \left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right) - \left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right) \right) - \cos\left( \left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right) + \left(\frac{\pi}{4} - \frac{x}{2}\right) \right) \right)

Sređujemo izraz unutar kosinusa. U prvom kosinusu se argumenti potiru, dok se u drugom sabiraju.

\cos(0) - \cos\left( 2 \left( \frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} \right) \right)

Znamo da je $\cos(0) = 1 .$ Množenjem zagrade sa 2 u drugom kosinusu dobijamo:

1 - \cos\left( \frac{\pi}{2} - x \right)

Koristeći vezu između sinusa i kosinusa komplementarnih uglova $\cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin x ,$ dobijamo levu stranu identiteta.

1 - \sin x

Time smo pokazali da je desna strana jednaka levoj, čime je identitet uspešno dokazan.

1 - \sin x = 2 \sin^2 \left( \frac{\pi}{4} - \frac{x}{2} \right)

773.b