2667. Transformacija zbira i razlike trigonometrijskih funkcija u proizvod

Prvo ćemo izvući zajednički faktor 2 ispred zagrade kako bismo izraz sveli na oblik pogodan za primenu formula za transformaciju zbira u proizvod.

2 \cos \alpha + 1 = 2 \left( \cos \alpha + \frac{1}{2} \right)

Znamo da je $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} .$ Zamenimo broj $\frac{1}{2}$ odgovarajućom vrednošću kosinusa.

2 \left( \cos \alpha + \cos \frac{\pi}{3} \right)

Sada primenjujemo formulu za zbir kosinusa: $\cos x + \cos y = 2 \cos \frac{x + y}{2} \cos \frac{x - y}{2} .$

\cos \alpha + \cos \frac{\pi}{3} = 2 \cos \frac{\alpha + \frac{\pi}{3}}{2} \cos \frac{\alpha - \frac{\pi}{3}}{2}

Sredimo argumente unutar kosinusa deljenjem sa 2.

2 \cos \left( \frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{6} \right) \cos \left( \frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{6} \right)

Vratimo dobijeni izraz u početnu transformaciju gde smo imali faktor 2 ispred zagrade.

2 \cdot \left[ 2 \cos \left( \frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{6} \right) \cos \left( \frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{6} \right) \right]

Konačan oblik proizvoda je:

4 \cos \left( \frac{\alpha}{2} + \frac{\pi}{6} \right) \cos \left( \frac{\alpha}{2} - \frac{\pi}{6} \right)

764.đ