2653. Transformacija zbira i razlike trigonometrijskih funkcija u proizvod

Za rešavanje ovog zadatka koristićemo formulu za zbir sinusa dva ugla:

\sin A + \sin B = 2 \sin \frac{A + B}{2} \cos \frac{A - B}{2}

U našem slučaju, uglovi su:

A = \frac{\pi}{4} + \alpha, \quad B = \frac{\pi}{4} - \alpha

Primenjujemo formulu na levu stranu jednakosti:

\sin \left( \frac{\pi}{4} + \alpha \right) + \sin \left( \frac{\pi}{4} - \alpha \right) = 2 \sin \frac{\left( \frac{\pi}{4} + \alpha \right) + \left( \frac{\pi}{4} - \alpha \right)}{2} \cos \frac{\left( \frac{\pi}{4} + \alpha \right) - \left( \frac{\pi}{4} - \alpha \right)}{2}

Sređujemo izraze u argumentima funkcija:

\frac{\left( \frac{\pi}{4} + \alpha \right) + \left( \frac{\pi}{4} - \alpha \right)}{2} = \frac{\frac{2\pi}{4}}{2} = \frac{\pi}{4} \\ \frac{\left( \frac{\pi}{4} + \alpha \right) - \left( \frac{\pi}{4} - \alpha \right)}{2} = \frac{2\alpha}{2} = \alpha

Zamenjujemo sređene argumente nazad u izraz:

2 \sin \frac{\pi}{4} \cos \alpha

Znamo da je vrednost sinusa za ugao od $\frac{\pi}{4}$ radijana:

\sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}

Uvrštavamo vrednost i dobijamo krajnji rezultat:

2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \cos \alpha = \sqrt{2} \cos \alpha

765.a