2657. Transformacija zbira i razlike trigonometrijskih funkcija u proizvod

Za dokazivanje ovog identiteta koristićemo adicionu formulu za zbir sinusa dva ugla: $\sin x + \sin y = 2 \sin \frac{x + y}{2} \cos \frac{x - y}{2} .$ U našem slučaju, uzimamo da je:

x = \frac{\pi}{6} + \alpha, \quad y = \frac{\pi}{6} - \alpha

Primenjujemo formulu na levu stranu identiteta:

\sin \left( \frac{\pi}{6} + \alpha \right) + \sin \left( \frac{\pi}{6} - \alpha \right) = 2 \sin \frac{\left( \frac{\pi}{6} + \alpha \right) + \left( \frac{\pi}{6} - \alpha \right)}{2} \cos \frac{\left( \frac{\pi}{6} + \alpha \right) - \left( \frac{\pi}{6} - \alpha \right)}{2}

Sređujemo izraze unutar argumenata funkcija sinus i kosinus. Prvo računamo zbir i razliku uglova u brojiocima:

\begin{aligned} \frac{\pi}{6} + \alpha + \frac{\pi}{6} - \alpha &= \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3} \\ \left( \frac{\pi}{6} + \alpha \right) - \left( \frac{\pi}{6} - \alpha \right) &= \frac{\pi}{6} + \alpha - \frac{\pi}{6} + \alpha = 2\alpha \end{aligned}

Sada te vrednosti vraćamo u početni izraz:

2 \sin \frac{\frac{\pi}{3}}{2} \cos \frac{2\alpha}{2} = 2 \sin \frac{\pi}{6} \cos \alpha

Znamo da je vrednost $\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2} .$ Zamenom ove vrednosti dobijamo:

2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \cos \alpha = 1 \cdot \cos \alpha = \cos \alpha

Dobijeni rezultat odgovara desnoj strani identiteta, čime je dokaz završen.

\cos \alpha = \cos \alpha

765.b