2666. Transformacija zbira i razlike trigonometrijskih funkcija u proizvod

Grupisaćemo prvi i poslednji član, kao i srednja dva člana na levoj strani izraza kako bismo primenili formulu za zbir kosinusa.

L = (\cos 7\alpha + \cos \alpha) + (\cos 5\alpha + \cos 3\alpha)

Primenjujemo formulu za zbir kosinusa $\cos x + \cos y = 2 \cos \frac{x + y}{2} \cos \frac{x - y}{2}$ na obe zagrade.

L = 2 \cos \frac{7\alpha + \alpha}{2} \cos \frac{7\alpha - \alpha}{2} + 2 \cos \frac{5\alpha + 3\alpha}{2} \cos \frac{5\alpha - 3\alpha}{2}

Sređujemo argumente trigonometrijskih funkcija.

L = 2 \cos 4\alpha \cos 3\alpha + 2 \cos 4\alpha \cos \alpha

Izvlačimo zajednički faktor $2 \cos 4\alpha$ ispred zagrade.

L = 2 \cos 4\alpha (\cos 3\alpha + \cos \alpha)

Ponovo primenjujemo formulu za zbir kosinusa na izraz unutar zagrade.

L = 2 \cos 4\alpha \left( 2 \cos \frac{3\alpha + \alpha}{2} \cos \frac{3\alpha - \alpha}{2} \right)

Sređujemo preostale argumente i množimo konstante.

L = 2 \cos 4\alpha (2 \cos 2\alpha \cos \alpha) = 4 \cos \alpha \cos 2\alpha \cos 4\alpha

Dobijeni izraz na levoj strani odgovara desnoj strani polaznog identiteta, čime je dokaz završen.

L = D

768