2672. Transformacija zbira i razlike trigonometrijskih funkcija u proizvod

Prvo ćemo izvući zajednički faktor 2 ispred zagrade kako bismo dobili izraz koji možemo lakše transformisati koristeći poznate vrednosti trigonometrijskih funkcija.

\sqrt{3} + 2 \cos x = 2 \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + \cos x \right)

Znamo da je $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} .$ Zamenom ove vrednosti u izraz dobijamo zbir dva kosinusa.

2 \left( \cos \frac{\pi}{6} + \cos x \right)

Sada primenjujemo formulu za transformaciju zbira kosinusa u proizvod: $\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{\alpha + \beta}{2} \cos \frac{\alpha - \beta}{2} .$ U našem slučaju je $\alpha = \frac{\pi}{6}$ i $\beta = x .$

2 \cdot 2 \cos \frac{\frac{\pi}{6} + x}{2} \cos \frac{\frac{\pi}{6} - x}{2}

Sređivanjem argumenata unutar kosinusa (deljenjem sa 2), dobijamo konačan oblik proizvoda.

4 \cos \left( \frac{\pi}{12} + \frac{x}{2} \right) \cos \left( \frac{\pi}{12} - \frac{x}{2} \right)

764.d