3151. Skupovi i skupovne operacije

TEKST ZADATKA

Odrediti skup $X$ ako važi: $\{1, 2\} \cup X = \{1, 2, 3\} .$

REŠENJE ZADATKA

Analiziramo datu jednakost. Unija skupa $\{1, 2\}$ i skupa $X$ daje skup $\{1, 2, 3\} .$

\{1, 2\} \cup X = \{1, 2, 3\}

Po definiciji unije, svaki element rezultujućeg skupa mora pripadati barem jednom od polaznih skupova.

Element $3$ se nalazi u rezultujućem skupu, ali se ne nalazi u skupu $\{1, 2\} .$ Zbog toga, element $3$ mora obavezno pripadati skupu $X .$

3 \in X

Elementi $1$ i $2$ se već nalaze u skupu $\{1, 2\} ,$ pa oni mogu, ali ne moraju pripadati skupu $X .$

Dakle, skup $X$ se sastoji od obaveznog elementa $3$ i proizvoljnog podskupa skupa $\{1, 2\} .$

X = \{3\} \cup Y, \quad Y \subseteq \{1, 2\}

Podskupovi skupa $\{1, 2\}$ su: prazan skup $\emptyset ,$ $\{1\} ,$ $\{2\}$ i $\{1, 2\} .$

Y \in \{\emptyset, \{1\}, \{2\}, \{1, 2\}\}

Dodavanjem elementa $3$ svakom od ovih podskupova dobijamo sva moguća rešenja za skup $X .$

X \in \{\{3\}, \{1, 3\}, \{2, 3\}, \{1, 2, 3\}\}

45