3118. Skupovi i skupovne operacije

TEKST ZADATKA

Zadati su skupovi $A = \{x \in \mathbb{N} \mid x > 2 \land x < 5\} ,$ $B = \{x \in \mathbb{Z} \mid |x| = 2\} ,$ $C = \{x \in \mathbb{N} \mid x < 4 \land x < 6\}$ i $D = \{x \in \mathbb{Z} \mid x^2 - 1 = 0\} .$ Odrediti skupove: v) $(C \setminus A) \cup (D \setminus B)$

REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo odrediti elemente svakog od zadatih skupova. Za skup $A$ tražimo prirodne brojeve veće od 2 i manje od 5.

A = \{3, 4\}

Za skup $B ,$ rešavamo jednačinu sa apsolutnom vrednošću. Prema definiciji apsolutne vrednosti imamo:

|x| = \begin{cases} x, & \text{za } x \ge 0 \\ -x, & \text{za } x < 0 \end{cases}

Iz ovoga sledi da jednačina $|x| = 2$ ima dva rešenja u skupu celih brojeva.

B = \{-2, 2\}

Za skup $C$ tražimo prirodne brojeve koji su istovremeno manji od 4 i manji od 6. To se svodi na uslov da su manji od 4.

C = \{1, 2, 3\}

Za skup $D$ rešavamo kvadratnu jednačinu $x^2 - 1 = 0 ,$ odnosno $x^2 = 1 .$

D = \{-1, 1\}

Sada računamo razliku skupova $C$ i $A .$ To su elementi koji pripadaju skupu $C ,$ ali ne pripadaju skupu $A .$

C \setminus A = \{1, 2, 3\} \setminus \{3, 4\} = \{1, 2\}

Zatim računamo razliku skupova $D$ i $B .$ To su elementi koji pripadaju skupu $D ,$ ali ne pripadaju skupu $B .$

D \setminus B = \{-1, 1\} \setminus \{-2, 2\} = \{-1, 1\}

Na kraju, računamo uniju dobijenih razlika. Unija obuhvata sve elemente koji se nalaze u barem jednom od ova dva skupa.

(C \setminus A) \cup (D \setminus B) = \{1, 2\} \cup \{-1, 1\} = \{-1, 1, 2\}

36.v