Sistem sa zbirom količnika x kroz y i y kroz x

Prvo uvodimo smenu u prvoj jednačini kako bismo je pojednostavili. Neka je $\frac{x}{y} = t .$ Tada je $\frac{y}{x} = \frac{1}{t} .$ Prva jednačina postaje:

t + \frac{1}{t} = \frac{37}{6}

Množimo celu jednačinu sa $6t$ (uz uslov $t \neq 0$ ) da bismo se oslobodili razlomaka:

6t^2 - 37t + 6 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu po $t$ koristeći kvadratnu formulu:

t_{1,2} = \frac{37 \pm \sqrt{37^2 - 4 \cdot 6 \cdot 6}}{2 \cdot 6} = \frac{37 \pm \sqrt{1369 - 144}}{12} = \frac{37 \pm \sqrt{1225}}{12}

Dobijamo dva moguća rešenja za $t :$

t_1 = \frac{37 + 35}{12} = 6, \quad t_2 = \frac{37 - 35}{12} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}

Sada razmatramo prvi slučaj: $\frac{x}{y} = 6 ,$ što znači $x = 6y .$ Zamenjujemo ovo u drugu jednačinu sistema $x + y = \frac{21}{8} :$

6y + y = \frac{21}{8} \implies 7y = \frac{21}{8} \implies y = \frac{3}{8}

Računamo odgovarajuću vrednost za $x$ u prvom slučaju:

x = 6 \cdot \frac{3}{8} = \frac{18}{8} = \frac{9}{4}

Razmatramo drugi slučaj: $\frac{x}{y} = \frac{1}{6} ,$ što znači $y = 6x .$ Zamenjujemo ovo u drugu jednačinu sistema:

x + 6x = \frac{21}{8} \implies 7x = \frac{21}{8} \implies x = \frac{3}{8}

Računamo odgovarajuću vrednost za $y$ u drugom slučaju:

y = 6 \cdot \frac{3}{8} = \frac{9}{4}

Konačna rešenja sistema su uređeni parovi:

(x, y) \in \left\{ \left( \frac{9}{4}, \frac{3}{8} \right), \left( \frac{3}{8}, \frac{9}{4} \right) \right\}

Započni učenje

Privatni časovi

324.b

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci