Homogeni sistem jednačina: desna strana jednaka 20

Prva jednačina sistema $x^2 - 5xy + 6y^2 = 0$ je homogena jednačina drugog stepena. Rešavamo je po $x$ (ili deljenjem sa $y^2$ uz proveru slučaja $y=0$ ).

x^2 - 5xy + 6y^2 = 0

Koristimo kvadratnu formulu za $x$ tretirajući $y$ kao konstantu:

x_{1,2} = \frac{5y \pm \sqrt{(5y)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6y^2}}{2} = \frac{5y \pm \sqrt{25y^2 - 24y^2}}{2} = \frac{5y \pm y}{2}

Dobijamo dva slučaja za vezu između $x$ i $y :$

x_1 = \frac{5y + y}{2} = 3y \quad \text{ili} \quad x_2 = \frac{5y - y}{2} = 2y

Slučaj 1: Zamenjujemo $x = 3y$ u drugu jednačinu sistema $2x^2 - 3xy + 3y^2 = 20 :$

2(3y)^2 - 3(3y)y + 3y^2 = 20 \\ 2(9y^2) - 9y^2 + 3y^2 = 20 \\ 18y^2 - 9y^2 + 3y^2 = 20 \\ 12y^2 = 20

Računamo vrednost $y$ za prvi slučaj:

y^2 = \frac{20}{12} = \frac{5}{3} \implies y = \pm \sqrt{\frac{5}{3}} = \pm \frac{\sqrt{15}}{3}

Računamo odgovarajuće vrednosti $x$ koristeći $x = 3y :$

y_1 = \frac{\sqrt{15}}{3} \implies x_1 = 3 \cdot \frac{\sqrt{15}}{3} = \sqrt{15} \\ y_2 = -\frac{\sqrt{15}}{3} \implies x_2 = 3 \cdot \left(-\frac{\sqrt{15}}{3}\right) = -\sqrt{15}

Slučaj 2: Zamenjujemo $x = 2y$ u drugu jednačinu sistema:

2(2y)^2 - 3(2y)y + 3y^2 = 20 \\ 2(4y^2) - 6y^2 + 3y^2 = 20 \\ 8y^2 - 6y^2 + 3y^2 = 20 \\ 5y^2 = 20

Računamo vrednost $y$ za drugi slučaj:

y^2 = 4 \implies y = \pm 2

Računamo odgovarajuće vrednosti $x$ koristeći $x = 2y :$

y_3 = 2 \implies x_3 = 2 \cdot 2 = 4 \\ y_4 = -2 \implies x_4 = 2 \cdot (-2) = -4

Skup svih rešenja sistema $(x, y)$ je:

\left\{ (\sqrt{15}, \frac{\sqrt{15}}{3}), (-\sqrt{15}, -\frac{\sqrt{15}}{3}), (4, 2), (-4, -2) \right\}

Započni učenje

Privatni časovi

329.d

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci