1775. Sistemi kvadratnih jednačina sa dve nepoznate

REŠENJE ZADATKA

Uvodimo smene kako bismo uprostili sistem. Neka je $u = \frac{1}{x^2}$ i $v = \frac{1}{y^2} .$ Primetimo da zbog prirode kvadratne funkcije u imeniocu mora važiti $u > 0$ i $v > 0 .$

Sistem sada glasi:

\begin{cases} v - 3u = 13 \\ u \cdot v = 100 \end{cases}

Iz prve jednačine izražavamo $v$ preko $u :$

v = 3u + 13

Zamenjujemo izraz za $v$ u drugu jednačinu:

u(3u + 13) = 100 \\ 3u^2 + 13u - 100 = 0

Rešavamo kvadratnu jednačinu po $u :$

u_{1,2} = \frac{-13 \pm \sqrt{13^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-100)}}{2 \cdot 3} \\ u_{1,2} = \frac{-13 \pm \sqrt{169 + 1200}}{6} \\ u_{1,2} = \frac{-13 \pm \sqrt{1369}}{6} \\ u_{1,2} = \frac{-13 \pm 37}{6}

Dobijamo dva rešenja za $u :$

u_1 = \frac{24}{6} = 4 \\ u_2 = \frac{-50}{6} = -\frac{25}{3}

Pošto je $u = \frac{1}{x^2} ,$ rešenje mora biti pozitivno. Dakle, odbacujemo $u_2$ i zadržavamo samo $u = 4 .$ Računamo $v :$

v = 3(4) + 13 = 12 + 13 = 25

Vraćamo smene da bismo pronašli $x$ i $y :$

\frac{1}{x^2} = 4 \implies x^2 = \frac{1}{4} \\ \frac{1}{y^2} = 25 \implies y^2 = \frac{1}{25}

Definišemo apsolutne vrednosti za rešavanje jednačina:

|x| = \begin{cases} x, & \text{za } x \ge 0 \\ -x, & \text{za } x < 0 \end{cases}

Definišemo apsolutnu vrednost za $y :$

|y| = \begin{cases} y, & \text{za } y \ge 0 \\ -y, & \text{za } y < 0 \end{cases}

Iz $x^2 = \frac{1}{4}$ sledi $|x| = \frac{1}{2} ,$ a iz $y^2 = \frac{1}{25}$ sledi $|y| = \frac{1}{5} .$ Kombinovanjem svih mogućih vrednosti dobijamo skup rešenja:

(x, y) \in \left\{ (\frac{1}{2}, \frac{1}{5}), (\frac{1}{2}, -\frac{1}{5}), (-\frac{1}{2}, \frac{1}{5}), (-\frac{1}{2}, -\frac{1}{5}) \right\}

327.g