2727. Osnovna svojstva trigonometrijskih funkcija

Prvo ispitujemo postojanje vrednosti funkcije u tački $x = 0 .$ Funkcija je definisana ako je imenilac različit od nule.

1 - \cos x \neq 0 \implies \cos x \neq 1

Proveravamo vrednost kosinusa za $x = 0 .$ Kako je $\cos 0 = 1 ,$ imenilac postaje nula.

1 - \cos 0 = 1 - 1 = 0

Pošto deljenje nulom nije definisano, zaključujemo da $f(0)$ ne postoji.

f(0) \notin \mathbb{R}

Sledeće, računamo vrednost funkcije u tački $x = \frac{\pi}{3} .$ Znamo da je $\cos\frac{\pi}{3} = \frac{1}{2} .$

f\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{1 - \cos\frac{\pi}{3}} = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}}

Sređujemo dobijeni izraz.

f\left(\frac{\pi}{3}\right) = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2

Na kraju, računamo vrednost funkcije u tački $x = -\frac{\pi}{4} .$ Koristimo osobinu da je kosinus parna funkcija, odnosno $\cos(-x) = \cos x .$

\cos\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \cos\left(\frac{\pi}{4}\right) = \frac{\sqrt{2}}{2}

Uvrštavamo vrednost u funkciju i racionališemo izraz.

f\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \frac{1}{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{1}{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}} = \frac{2}{2 - \sqrt{2}}

Vršimo racionalizaciju imenioca množenjem sa $\frac{2 + \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}} .$

f\left(-\frac{\pi}{4}\right) = \frac{2(2 + \sqrt{2})}{4 - 2} = \frac{2(2 + \sqrt{2})}{2} = 2 + \sqrt{2}

831