2730. Osnovna svojstva trigonometrijskih funkcija

Prvo određujemo domen funkcije $f(x) = 3 \text{ctg} x .$ Funkcija kotangens je definisana kao količnik kosinusa i sinusa, pa mora važiti da je imenilac različit od nule.

\text{ctg} x = \frac{\cos x}{\sin x} \implies \sin x \neq 0

Rešavamo jednačinu $\sin x = 0$ kako bismo pronašli tačke u kojima funkcija nije definisana.

\sin x = 0 \iff x = k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}

Ispitujemo postojanje vrednosti $f(0) .$ Kako je $x = 0$ nula funkcije sinus ( $\sin 0 = 0$ ), funkcija kotangens u toj tački nije definisana.

f(0) = 3 \text{ctg} 0 = 3 \cdot \frac{\cos 0}{\sin 0} = 3 \cdot \frac{1}{0} \implies \text{nije definisano}

Računamo vrednost $f\left(\frac{\pi}{2}\right) .$ Proveravamo da li je $\frac{\pi}{2}$ u domenu. Pošto je $\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 \neq 0 ,$ vrednost postoji.

f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 3 \text{ctg}\left(\frac{\pi}{2}\right) = 3 \cdot 0 = 0

Ispitujemo postojanje vrednosti $f(\pi) .$ Kako je $x = \pi$ nula funkcije sinus ( $\sin \pi = 0$ ), funkcija kotangens u toj tački nije definisana.

f(\pi) = 3 \text{ctg} \pi = 3 \cdot \frac{\cos \pi}{\sin \pi} = 3 \cdot \frac{-1}{0} \implies \text{nije definisano}

Zaključujemo da vrednosti $f(0)$ i $f(\pi)$ ne postoje, dok je vrednost $f\left(\frac{\pi}{2}\right)$ jednaka 0.

f(0) \notin \mathbb{R}, \quad f\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0, \quad f(\pi) \notin \mathbb{R}

830.g