2748.

Osnovna svojstva trigonometrijskih funkcija

Određujemo domen funkcije. Funkcija kotangens je definisana kada je imenilac različit od nule, odnosno kada je $\sin x \neq 0 .$

Ispitujemo periodičnost i parnost funkcije. Funkcija je periodična sa osnovnim periodom $T = \pi$ jer je $\text{ctg}(x + \pi) = \text{ctg} x .$ Takođe, funkcija je parna jer važi $y(-x) = y(x) .$

Definišemo apsolutnu vrednost funkcije. Zbog periodičnosti, dovoljno je analizirati funkciju na jednom periodu, na primer na intervalu $(0, \pi) .$

Na intervalu $(0, \pi) ,$ kotangens je pozitivan na $(0, \frac{\pi}{2}]$ i negativan na $(\frac{\pi}{2}, \pi) .$ Zato funkciju možemo zapisati bez apsolutne vrednosti na ovim podintervalima.

Određujemo nule i znak funkcije. Zbog apsolutne vrednosti, funkcija je uvek nenegativna, odnosno $y \ge 0$ za svako $x$ iz domena.

Ispitujemo asimptote. Funkcija nema horizontalne ni kose asimptote zbog periodičnosti. Vertikalne asimptote se nalaze u tačkama prekida $x = k\pi .$

Računamo prvi izvod funkcije da bismo ispitali monotonost na intervalu $(0, \pi) .$

Analiziramo znak prvog izvoda. Na intervalu $(0, \frac{\pi}{2})$ je $y' < 0 ,$ pa funkcija opada. Na intervalu $(\frac{\pi}{2}, \pi)$ je $y' > 0 ,$ pa funkcija raste. U tački $x = \frac{\pi}{2}$ funkcija dostiže lokalni i globalni minimum.

Računamo drugi izvod funkcije da bismo ispitali konveksnost na intervalu $(0, \pi) .$

Analiziramo znak drugog izvoda. Za $x \in (0, \frac{\pi}{2})$ je $\cos x > 0$ i $\sin x > 0 ,$ pa je $y'' > 0 .$ Za $x \in (\frac{\pi}{2}, \pi)$ je $\cos x < 0$ i $\sin x > 0 ,$ pa je $-\cos x > 0$ i $y'' > 0 .$ Funkcija je konveksna (okrenuta nagore) na celom domenu i nema prevojnih tačaka.