Kvadrat najmanje površine upisan u kvadrat

Neka su temena upisanog kvadrata tačke na stranicama polaznog kvadrata. Te tačke dele stranice polaznog kvadrata na duži dužina $x$ i $a-x ,$ gde je $0 \le x \le a .$

Površina upisanog kvadrata jednaka je kvadratu njegove stranice. Stranicu upisanog kvadrata možemo izraziti preko Pitagorine teoreme primenjene na pravougli trougao čije su katete $x$ i $a-x .$

P(x) = x^2 + (a-x)^2

Kvadriramo izraz u zagradi i sređujemo jednačinu kako bismo dobili kvadratnu funkciju po $x .$

P(x) = x^2 + a^2 - 2ax + x^2 = 2x^2 - 2ax + a^2

Dobili smo kvadratnu funkciju oblika $y = Ax^2 + Bx + C ,$ gde su koeficijenti $A = 2 ,$ $B = -2a$ i $C = a^2 .$

Pošto je koeficijent uz kvadratni član pozitivan ( $A = 2 > 0$ ), funkcija dostiže svoj minimum u temenu parabole, za $x = -\frac{B}{2A} .$

x = -\frac{-2a}{2 \cdot 2}

Računamo vrednost za $x .$

x = \frac{2a}{4} = \frac{a}{2}

Zaključujemo da se kvadrat najmanje površine dobija kada se njegova temena nalaze na sredinama stranica polaznog kvadrata. Računamo tu minimalnu površinu uvrštavanjem $x = \frac{a}{2}$ u funkciju $P(x) .$

P_{min} = 2\left(\frac{a}{2}\right)^2 - 2a\left(\frac{a}{2}\right) + a^2

Sređujemo izraz za minimalnu površinu.

P_{min} = 2 \cdot \frac{a^2}{4} - a^2 + a^2 = \frac{a^2}{2}

Započni učenje

Privatni časovi

283

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci