1673.

278.v

TEKST ZADATKA

Date su funkcije: f(x)=x2−2mx+2m2−1. f(x) = x^2 - 2mx + 2m^2 - 1 . Naći geometrijsko mesto njihovih minimuma za m∈R. m \in \mathbf{R} .

REŠENJE ZADATKA

Kvadratna funkcija je oblika y=ax2+bx+c. y = ax^2 + bx + c . Odredimo koeficijente date funkcije.

a=1,b=−2m,c=2m2−1a = 1, \quad b = -2m, \quad c = 2m^2 - 1

Pošto je a=1>0, a = 1 > 0 , funkcija ima minimum. X-koordinata minimuma se računa po formuli x=−b2a. x = -\frac{b}{2a} .

x=−−2m2⋅1=mx = -\frac{-2m}{2 \cdot 1} = m

Y-koordinatu minimuma nalazimo koristeći formulu y=4ac−b24a. y = \frac{4ac - b^2}{4a} .

y=4⋅1⋅(2m2−1)−(−2m)24⋅1y = \frac{4 \cdot 1 \cdot (2m^2 - 1) - (-2m)^2}{4 \cdot 1}

Sredimo izraz za y-koordinatu.

y=8m2−4−4m24=4m2−44=m2−1y = \frac{8m^2 - 4 - 4m^2}{4} = \frac{4m^2 - 4}{4} = m^2 - 1

Koordinate minimuma u zavisnosti od parametra m m su:

M(m,m2−1)M(m, m^2 - 1)

Da bismo našli geometrijsko mesto tačaka, posmatramo sistem jednačina koji predstavlja koordinate minimuma.

{x=my=m2−1\begin{cases} x = m \\ y = m^2 - 1 \end{cases}

Eliminacijom parametra m m (zamenom m=x m = x u drugu jednačinu) dobijamo jednačinu krive koja predstavlja traženo geometrijsko mesto.

y=x2−1y = x^2 - 1

Traženo geometrijsko mesto minimuma je parabola.

y=x2−1y = x^2 - 1