1674. Kvadratna funkcija

Prema Vijetovim formulama za kvadratnu jednačinu $ax^2 + bx + c = 0 ,$ zbir i proizvod rešenja su dati sledećim relacijama:

x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}, \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}

Za datu jednačinu $x^2 - mx + m - 1 = 0$ koeficijenti su $a = 1 ,$ $b = -m$ i $c = m - 1 ,$ pa važi:

x_1 + x_2 = m, \quad x_1 \cdot x_2 = m - 1

Zbir kvadrata rešenja možemo izraziti preko zbira i proizvoda rešenja na sledeći način:

x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2

Zamenom vrednosti iz Vijetovih formula u prethodni izraz dobijamo:

x_1^2 + x_2^2 = m^2 - 2(m - 1)

Sređivanjem izraza dobijamo kvadratnu funkciju po parametru $m :$

f(m) = m^2 - 2m + 2

Proveravamo uslov da su rešenja realna, odnosno da je diskriminanta nenegativna ( $D \ge 0$ ):

D = (-m)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m - 1) = m^2 - 4m + 4 = (m - 2)^2

Pošto je kvadrat svakog realnog broja nenegativan, uslov $D \ge 0$ je ispunjen za svako realno $m .$ Sada tražimo minimum funkcije $f(m) .$ Kvadratna funkcija oblika $am^2 + bm + c$ (gde je $a > 0$ ) dostiže minimum u temenu:

m = -\frac{b}{2a}

Za funkciju $f(m) = m^2 - 2m + 2$ koeficijenti su $a = 1$ i $b = -2 .$ Računamo vrednost parametra $m :$

m = -\frac{-2}{2 \cdot 1} = 1

274.a