1748. Kvadratne nejednačine

REŠENJE ZADATKA

Da bi rešenja kvadratne jednačine bila realna, diskriminanta mora biti veća ili jednaka nuli.

D \ge 0

Računamo diskriminantu za datu jednačinu.

D = (m - 2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = m^2 - 4m + 4 - 4 = m^2 - 4m

Postavljamo nejednačinu za uslov realnih rešenja.

m^2 - 4m \ge 0 \implies m(m - 4) \ge 0

m \in (-\infty, 0)

m \in (0, 4)

m \in (4, +\infty)

m

-

+

+

m - 4

-

-

+

m(m - 4)

+

-

+

Na osnovu tabele znakova, određujemo vrednosti parametra $m$ za koje su rešenja realna.

m \in (-\infty, 0] \cup [4, +\infty)

Prema Vijetovim formulama za jednačinu $ax^2 + bx + c = 0$ važi:

x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = -(m - 2) = 2 - m, \quad x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = 1

Transformišemo izraz $x_1^2 + x_2^2$ kako bismo mogli da primenimo Vijetove formule.

x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1x_2

Zamenjujemo vrednosti iz Vijetovih formula u transformisani izraz.

x_1^2 + x_2^2 = (2 - m)^2 - 2 \cdot 1 = 4 - 4m + m^2 - 2 = m^2 - 4m + 2

Dobili smo kvadratnu funkciju $f(m) = m^2 - 4m + 2 .$ Njen minimum se nalazi u temenu parabole. Računamo $m$ koordinatu temena.

m_T = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2

Međutim, vrednost $m = 2$ ne pripada domenu za koji su rešenja realna ( $m \in (-\infty, 0] \cup [4, +\infty)$ ).

2 \notin (-\infty, 0] \cup [4, +\infty)

Pošto je parabola okrenuta nagore i simetrična u odnosu na pravu $m = 2 ,$ najmanja vrednost na dozvoljenom domenu se dostiže u tačkama koje su najbliže temenu, a to su granice intervala $m = 0$ i $m = 4 .$

f(0) = 0^2 - 4 \cdot 0 + 2 = 2, \quad f(4) = 4^2 - 4 \cdot 4 + 2 = 2

Zaključujemo da se najmanja vrednost izraza pri uslovu da su rešenja realna dostiže za $m = 0$ ili $m = 4 .$

m \in \{0, 4\}

309