1749. Kvadratne nejednačine

REŠENJE ZADATKA

Da bi kvadratna jednačina $ax^2 + bx + c = 0$ imala oba korena pozitivna, moraju biti ispunjeni sledeći uslovi:

\begin{cases} a \neq 0 \\ D \ge 0 \\ x_1 + x_2 > 0 \\ x_1 \cdot x_2 > 0 \end{cases}

Iz zadate jednačine $(p - 2)x^2 - 2px + p - 1 = 0$ određujemo koeficijente:

a = p - 2, \quad b = -2p, \quad c = p - 1

Prvi uslov je da jednačina bude kvadratna, odnosno da je koeficijent uz $x^2$ različit od nule:

p - 2 \neq 0 \implies p \neq 2

Drugi uslov je da diskriminanta bude nenegativna, kako bi koreni bili realni:

D = b^2 - 4ac \ge 0

Zamenjujemo koeficijente i računamo diskriminantu:

D = (-2p)^2 - 4(p - 2)(p - 1) = 4p^2 - 4(p^2 - 3p + 2) = 12p - 8

Rešavamo nejednačinu $D \ge 0 :$

12p - 8 \ge 0 \implies 12p \ge 8 \implies p \ge \frac{2}{3}

Treći uslov je da zbir korena bude pozitivan. Prema Vijetovim formulama važi:

x_1 + x_2 = -\frac{b}{a} = \frac{2p}{p - 2} > 0

Pravimo tabelu znakova za izraz $\frac{2p}{p - 2} .$

p \in (-\infty, 0)

p \in (0, 2)

p \in (2, +\infty)

2p

-

+

+

p - 2

-

-

+

\frac{2p}{p - 2}

+

-

+

Iz tabele vidimo da je zbir korena pozitivan za:

p \in (-\infty, 0) \cup (2, +\infty)

Četvrti uslov je da proizvod korena bude pozitivan. Prema Vijetovim formulama važi:

x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{p - 1}{p - 2} > 0

Pravimo tabelu znakova za izraz $\frac{p - 1}{p - 2} .$

p \in (-\infty, 1)

p \in (1, 2)

p \in (2, +\infty)

p - 1

-

+

+

p - 2

-

-

+

\frac{p - 1}{p - 2}

+

-

+

Iz tabele vidimo da je proizvod korena pozitivan za:

p \in (-\infty, 1) \cup (2, +\infty)

Konačno rešenje dobijamo presekom svih uslova:

\begin{cases} p \neq 2 \\ p \ge \frac{2}{3} \\ p \in (-\infty, 0) \cup (2, +\infty) \\ p \in (-\infty, 1) \cup (2, +\infty) \end{cases}

Presek uslova $p \ge \frac{2}{3}$ i $p \in (-\infty, 0) \cup (2, +\infty)$ daje $p \in (2, +\infty) .$ Ovaj interval ujedno zadovoljava i preostale uslove, pa je konačno rešenje:

p \in (2, +\infty)

305