1744. Kvadratne nejednačine

REŠENJE ZADATKA

Prvo faktorišemo imenilac i određujemo oblast definisanosti (domen) nejednačine. Imenilac ne sme biti jednak nuli.

x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2) \neq 0 \implies x \neq 1 \land x \neq 2

Definišemo apsolutnu vrednost iz brojioca.

|x - 2| = \begin{cases} x - 2, & \text{za } x - 2 \ge 0 \\ -(x - 2), & \text{za } x - 2 < 0 \end{cases}

Pošto je $x \neq 2 ,$ razmatramo dva slučaja. Prvi slučaj je kada je $x > 2 .$ Tada je $|x - 2| = x - 2 .$

\frac{x - 2}{(x - 1)(x - 2)} \ge 2

Skraćujemo razlomak sa $x - 2$ i rešavamo nejednačinu prebacivanjem svih članova na levu stranu.

\frac{1}{x - 1} - 2 \ge 0 \implies \frac{1 - 2(x - 1)}{x - 1} \ge 0 \implies \frac{3 - 2x}{x - 1} \ge 0

Formiramo tabelu znakova za izraz $\frac{3 - 2x}{x - 1} .$ Nule izraza su $x = \frac{3}{2}$ i $x = 1 .$

x \in (-\infty, 1)

x \in (1, \frac{3}{2})

x \in (\frac{3}{2}, +\infty)

3 - 2x

+

+

-

x - 1

-

+

+

\frac{3 - 2x}{x - 1}

-

+

-

Iz tabele vidimo da je izraz veći ili jednak nuli za $x \in (1, \frac{3}{2}] .$ Međutim, moramo naći presek sa uslovom prvog slučaja $x > 2 .$

x \in (1, \frac{3}{2}] \cap (2, +\infty) = \emptyset

Drugi slučaj je kada je $x < 2$ (uz uslov $x \neq 1$ ). Tada je $|x - 2| = -(x - 2) .$

\frac{-(x - 2)}{(x - 1)(x - 2)} \ge 2

Skraćujemo razlomak sa $x - 2$ i rešavamo nejednačinu.

\frac{-1}{x - 1} - 2 \ge 0 \implies \frac{-1 - 2(x - 1)}{x - 1} \ge 0 \implies \frac{1 - 2x}{x - 1} \ge 0

Formiramo tabelu znakova za izraz $\frac{1 - 2x}{x - 1} .$ Nule izraza su $x = \frac{1}{2}$ i $x = 1 .$

x \in (-\infty, \frac{1}{2})

x \in (\frac{1}{2}, 1)

x \in (1, +\infty)

1 - 2x

+

-

-

x - 1

-

-

+

\frac{1 - 2x}{x - 1}

-

+

-

Iz tabele vidimo da je izraz veći ili jednak nuli za $x \in [\frac{1}{2}, 1) .$ Tražimo presek sa uslovom drugog slučaja $x < 2 .$

x \in [\frac{1}{2}, 1) \cap (-\infty, 2) = [\frac{1}{2}, 1)

Konačno rešenje je unija rešenja iz oba slučaja.

x \in \emptyset \cup [\frac{1}{2}, 1) = [\frac{1}{2}, 1)

304.b