1743. Kvadratne nejednačine

REŠENJE ZADATKA

Prvo, faktorišemo imenilac i određujemo domen nejednačine. Imenilac ne sme biti jednak nuli.

x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) \neq 0 \implies x \neq 2 \text{ i } x \neq 3

Definišemo izraz sa apsolutnom vrednošću:

|x - 3| = \begin{cases} x - 3, & \text{za } x - 3 \ge 0 \\ -(x - 3), & \text{za } x - 3 < 0 \end{cases}

S obzirom na uslov domena $x \neq 3 ,$ razmatramo dva slučaja: $x > 3$ i $x < 3 .$

Slučaj 1: $x > 3 .$ Tada je $|x - 3| = x - 3 .$ Zamenjujemo ovo u početnu nejednačinu i skraćujemo razlomak.

\frac{x - 3}{(x - 2)(x - 3)} \ge 2 \implies \frac{1}{x - 2} \ge 2

Prebacujemo sve na levu stranu i svodimo na zajednički imenilac.

\frac{1}{x - 2} - 2 \ge 0 \implies \frac{1 - 2(x - 2)}{x - 2} \ge 0 \implies \frac{5 - 2x}{x - 2} \ge 0

x \in (-\infty, 2)

x \in (2, \frac{5}{2})

x \in (\frac{5}{2}, +\infty)

5 - 2x

+

+

-

x - 2

-

+

+

\frac{5 - 2x}{x - 2}

-

+

-//

Iz tabele vidimo da je rešenje nejednačine $x \in (2, \frac{5}{2}] .$ Međutim, kako razmatramo slučaj $x > 3 ,$ presek ova dva uslova je prazan skup.

x \in \emptyset

Slučaj 2: $x < 3$ (i $x \neq 2$ ). Tada je $|x - 3| = -(x - 3) .$ Zamenjujemo u početnu nejednačinu i skraćujemo razlomak.

\frac{-(x - 3)}{(x - 2)(x - 3)} \ge 2 \implies \frac{-1}{x - 2} \ge 2

Prebacujemo sve na levu stranu i svodimo na zajednički imenilac.

\frac{-1}{x - 2} - 2 \ge 0 \implies \frac{-1 - 2(x - 2)}{x - 2} \ge 0 \implies \frac{3 - 2x}{x - 2} \ge 0

x \in (-\infty, \frac{3}{2})

x \in (\frac{3}{2}, 2)

x \in (2, +\infty)

3 - 2x

+

-

-

x - 2

-

-

+

\frac{3 - 2x}{x - 2}

-

+

-//

Iz tabele vidimo da je rešenje nejednačine $x \in [\frac{3}{2}, 2) .$ Kako razmatramo slučaj $x < 3$ i $x \neq 2 ,$ ovo rešenje u potpunosti pripada domenu ovog slučaja.

x \in \left[\frac{3}{2}, 2\right)

Konačno rešenje je unija rešenja iz oba slučaja.

x \in \left[\frac{3}{2}, 2\right)

303.g