Podeli

1742.
Kvadratne nejednačine

REŠENJE ZADATKA

Prvo, određujemo domen nejednačine. Zbog prisustva promenljive u imeniocu (izraz $x^{-1} = \frac{1}{x}$ ), imenilac ne sme biti nula.

x \neq 0

Prema pravilima za rad sa apsolutnim vrednostima, definišemo izraz pod apsolutnom vrednošću:

|x + x^{-1} - 4| = \begin{cases} x + x^{-1} - 4, & \text{za } x + x^{-1} - 4 \ge 0 \\ -(x + x^{-1} - 4), & \text{za } x + x^{-1} - 4 < 0 \end{cases}

Nejednačinu oblika $|A| \leqslant B$ možemo zapisati kao dvostruku nejednačinu $-B \leqslant A \leqslant B .$

-2 \leqslant x + \frac{1}{x} - 4 \leqslant 2

Dodajemo 4 svim delovima nejednačine kako bismo izolovali izraz sa promenljivom.

2 \leqslant x + \frac{1}{x} \leqslant 6

Ova dvostruka nejednačina se svodi na sistem dve nejednačine koje moraju biti zadovoljene istovremeno:

\begin{cases} x + \frac{1}{x} \geqslant 2 \\ x + \frac{1}{x} \leqslant 6 \end{cases}

Rešavamo prvu nejednačinu. Prebacujemo sve na levu stranu i svodimo na zajednički imenilac.

\frac{x^2 - 2x + 1}{x} \geqslant 0

Prepoznajemo kvadrat binoma u brojiocu.

\frac{(x-1)^2}{x} \geqslant 0

Formiramo tabelu znakova za prvu nejednačinu. Nule brojioca i imenioca su $x = 1$ i $x = 0 .$

x \in (-\infty, 0)

x \in (0, 1)

x \in (1, +\infty)

(x-1)^2

+

+

+

x

-

+

+

\frac{(x-1)^2}{x}

-

+

+

Sa tabele vidimo da je izraz pozitivan za $x \in (0, 1) \cup (1, +\infty) .$ Za $x = 1$ izraz je jednak nuli, pa je rešenje prve nejednačine:

x \in (0, +\infty)

Sada rešavamo drugu nejednačinu. Prebacujemo 6 na levu stranu i svodimo na zajednički imenilac.

\frac{x^2 - 6x + 1}{x} \leqslant 0

Nalazimo nule brojioca rešavanjem kvadratne jednačine $x^2 - 6x + 1 = 0 .$

x_{1,2} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4}}{2} = \frac{6 \pm 4\sqrt{2}}{2} = 3 \pm 2\sqrt{2}

Formiramo tabelu znakova za drugu nejednačinu. Nule su $x = 0 ,$ $x = 3 - 2\sqrt{2}$ i $x = 3 + 2\sqrt{2} .$

x \in (-\infty, 0)

x \in (0, 3-2\sqrt{2})

x \in (3-2\sqrt{2}, 3+2\sqrt{2})

x \in (3+2\sqrt{2}, +\infty)

x^2 - 6x + 1

+

+

-

+

x

-

+

+

+

\frac{x^2 - 6x + 1}{x}

-

+

-

+

Na osnovu tabele, izraz je manji ili jednak nuli na intervalima gde je znak minus, uključujući nule brojioca:

x \in (-\infty, 0) \cup [3 - 2\sqrt{2}, 3 + 2\sqrt{2}]

Konačno rešenje je presek rešenja prve i druge nejednačine.

x \in (0, +\infty) \cap \left( (-\infty, 0) \cup [3 - 2\sqrt{2}, 3 + 2\sqrt{2}] \right)

Računamo presek i dobijamo konačno rešenje zadatka.

x \in [3 - 2\sqrt{2}, 3 + 2\sqrt{2}]

1742.Kvadratne nejednačine