1743.

Kvadratne nejednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti nejednačine (zadaci 302-304): ∣x−3∣x2−5x+6⩾2. \frac{|x - 3|}{x^2 - 5x + 6} \geqslant 2 .

REŠENJE ZADATKA

Prvo, faktorišemo imenilac i određujemo domen nejednačine. Imenilac ne sme biti jednak nuli.

x2−5x+6=(x−2)(x−3)≠0  ⟹  x≠2 i x≠3x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) \neq 0 \implies x \neq 2 \text{ i } x \neq 3

Definišemo izraz sa apsolutnom vrednošću:

∣x−3∣={x−3,za x−3≥0−(x−3),za x−3<0|x - 3| = \begin{cases} x - 3, & \text{za } x - 3 \ge 0 \\ -(x - 3), & \text{za } x - 3 < 0 \end{cases}

S obzirom na uslov domena x≠3, x \neq 3 , razmatramo dva slučaja: x>3 x > 3 i x<3. x < 3 .

Slučaj 1: x>3. x > 3 . Tada je ∣x−3∣=x−3. |x - 3| = x - 3 . Zamenjujemo ovo u početnu nejednačinu i skraćujemo razlomak.

x−3(x−2)(x−3)≥2  ⟹  1x−2≥2\frac{x - 3}{(x - 2)(x - 3)} \ge 2 \implies \frac{1}{x - 2} \ge 2

Prebacujemo sve na levu stranu i svodimo na zajednički imenilac.

1x−2−2≥0  ⟹  1−2(x−2)x−2≥0  ⟹  5−2xx−2≥0\frac{1}{x - 2} - 2 \ge 0 \implies \frac{1 - 2(x - 2)}{x - 2} \ge 0 \implies \frac{5 - 2x}{x - 2} \ge 0
x∈(−∞,2)x \in (-\infty, 2)
x∈(2,52)x \in (2, \frac{5}{2})
x∈(52,+∞)x \in (\frac{5}{2}, +\infty)
5−2x5 - 2x
++
++
−-
x−2x - 2
−-
++
++
5−2xx−2\frac{5 - 2x}{x - 2}
−-
++
−//-//

Iz tabele vidimo da je rešenje nejednačine x∈(2,52]. x \in (2, \frac{5}{2}] . Međutim, kako razmatramo slučaj x>3, x > 3 , presek ova dva uslova je prazan skup.

x∈∅x \in \emptyset

Slučaj 2: x<3 x < 3 (i x≠2 x \neq 2 ). Tada je ∣x−3∣=−(x−3). |x - 3| = -(x - 3) . Zamenjujemo u početnu nejednačinu i skraćujemo razlomak.

−(x−3)(x−2)(x−3)≥2  ⟹  −1x−2≥2\frac{-(x - 3)}{(x - 2)(x - 3)} \ge 2 \implies \frac{-1}{x - 2} \ge 2

Prebacujemo sve na levu stranu i svodimo na zajednički imenilac.

−1x−2−2≥0  ⟹  −1−2(x−2)x−2≥0  ⟹  3−2xx−2≥0\frac{-1}{x - 2} - 2 \ge 0 \implies \frac{-1 - 2(x - 2)}{x - 2} \ge 0 \implies \frac{3 - 2x}{x - 2} \ge 0
x∈(−∞,32)x \in (-\infty, \frac{3}{2})
x∈(32,2)x \in (\frac{3}{2}, 2)
x∈(2,+∞)x \in (2, +\infty)
3−2x3 - 2x
++
−-
−-
x−2x - 2
−-
−-
++
3−2xx−2\frac{3 - 2x}{x - 2}
−-
++
−//-//

Iz tabele vidimo da je rešenje nejednačine x∈[32,2). x \in [\frac{3}{2}, 2) . Kako razmatramo slučaj x<3 x < 3 i x≠2, x \neq 2 , ovo rešenje u potpunosti pripada domenu ovog slučaja.

x∈[32,2)x \in \left[\frac{3}{2}, 2\right)

Konačno rešenje je unija rešenja iz oba slučaja.

x∈[32,2)x \in \left[\frac{3}{2}, 2\right)

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti