1741.

Kvadratne nejednačine

TEKST ZADATKA

Ako su x1 x_1 i x2 x_2 rešenja kvadratne jednačine (m+1)x2−(m−1)x+m=0, (m + 1)x^2 - (m - 1)x + m = 0 , odrediti realan parametar m m tako da važi relacija x12+x22⩾1. x_1^2 + x_2^2 \geqslant 1 .

REŠENJE ZADATKA

Da bi data jednačina bila kvadratna, koeficijent uz x2 x^2 mora biti različit od nule.

m+1≠0  ⟹  m≠−1m + 1 \neq 0 \implies m \neq -1

Prema Vijetovim formulama za kvadratnu jednačinu ax2+bx+c=0, ax^2 + bx + c = 0 , zbir i proizvod rešenja su:

x1+x2=−ba=m−1m+1x1x2=ca=mm+1\begin{aligned} x_1 + x_2 &= -\frac{b}{a} = \frac{m - 1}{m + 1} \\ x_1 x_2 &= \frac{c}{a} = \frac{m}{m + 1} \end{aligned}

Izraz x12+x22 x_1^2 + x_2^2 možemo zapisati preko zbira i proizvoda rešenja:

x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2

Zamenjujemo Vijetove formule u dati uslov x12+x22⩾1: x_1^2 + x_2^2 \geqslant 1 :

(m−1m+1)2−2mm+1⩾1\left(\frac{m - 1}{m + 1}\right)^2 - 2\frac{m}{m + 1} \geqslant 1

Kvadriramo prvi razlomak i svodimo na zajednički imenilac na levoj strani:

(m−1)2−2m(m+1)(m+1)2⩾1\frac{(m - 1)^2 - 2m(m + 1)}{(m + 1)^2} \geqslant 1

Sređujemo brojilac:

m2−2m+1−2m2−2m(m+1)2⩾1\frac{m^2 - 2m + 1 - 2m^2 - 2m}{(m + 1)^2} \geqslant 1

Nakon oduzimanja sličnih monoma dobijamo:

−m2−4m+1(m+1)2⩾1\frac{-m^2 - 4m + 1}{(m + 1)^2} \geqslant 1

Prebacujemo 1 1 na levu stranu kako bismo rešili nejednačinu:

−m2−4m+1(m+1)2−1⩾0\frac{-m^2 - 4m + 1}{(m + 1)^2} - 1 \geqslant 0

Svodimo na zajednički imenilac:

−m2−4m+1−(m+1)2(m+1)2⩾0\frac{-m^2 - 4m + 1 - (m + 1)^2}{(m + 1)^2} \geqslant 0

Razvijamo kvadrat binoma i sređujemo brojilac:

−m2−4m+1−(m2+2m+1)(m+1)2⩾0\frac{-m^2 - 4m + 1 - (m^2 + 2m + 1)}{(m + 1)^2} \geqslant 0

Nakon sređivanja dobijamo:

−2m2−6m(m+1)2⩾0\frac{-2m^2 - 6m}{(m + 1)^2} \geqslant 0

Pošto je imenilac (m+1)2>0 (m + 1)^2 > 0 za svako m≠−1, m \neq -1 , znak razlomka zavisi samo od brojioca. Da bi razlomak bio nenegativan, brojilac mora biti nenegativan:

−2m2−6m⩾0-2m^2 - 6m \geqslant 0

Delimo nejednačinu sa −2 -2 (pri čemu se menja znak nejednakosti):

m2+3m⩽0m^2 + 3m \leqslant 0

Faktorišemo kvadratni trinom izvlačenjem zajedničkog činioca:

m(m+3)⩽0m(m + 3) \leqslant 0
m∈(−∞,−3)m \in (-\infty, -3)
m∈(−3,0)m \in (-3, 0)
m∈(0,+∞)m \in (0, +\infty)
m+3m + 3
++
++
++
mm
++
++
++
m(m+3)m(m + 3)
++
++
++

Na osnovu tabele znakova, izraz je manji ili jednak nuli na intervalu:

m∈[−3,0]m \in [-3, 0]

Uzimajući u obzir početni uslov da je m≠−1, m \neq -1 , konačno rešenje dobijamo izbacivanjem te vrednosti iz intervala:

m∈[−3,−1)∪(−1,0]m \in [-3, -1) \cup (-1, 0]

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti