TEKST ZADATKA
Rešiti nejednačinu: ∣x2+4x∣⩾1−2x
REŠENJE ZADATKA
Definišemo apsolutnu vrednost izraza:
∣x2+4x∣={x2+4x,−(x2+4x),za x2+4x≥0za x2+4x<0 Određujemo znak izraza x2+4x=x(x+4) pomoću tabele.
x∈(−∞,−4) x∈(−4,0) x∈(0,+∞) Na osnovu tabele, uslovi za slučajeve su:
x2+4x≥0x2+4x<0za x∈(−∞,−4]∪[0,+∞)za x∈(−4,0) **Prvi slučaj:** x∈(−∞,−4]∪[0,+∞). Nejednačina postaje:
x2+4x⩾1−2x Prebacujemo sve članove na levu stranu i sređujemo nejednačinu:
x2+6x−1⩾0 Nalazimo nule kvadratnog trinoma x2+6x−1:
x1,2=2−6±36−4⋅1⋅(−1)=2−6±40=2−6±210=−3±10 Pošto je koeficijent uz x2 pozitivan, trinom je nenegativan van korena:
x∈(−∞,−3−10]∪[−3+10,+∞) Tražimo presek ovog rešenja sa uslovom prvog slučaja x∈(−∞,−4]∪[0,+∞). Pošto je −3−10≈−6.16≤−4 i −3+10≈0.16≥0, presek je:
x∈(−∞,−3−10]∪[−3+10,+∞) **Drugi slučaj:** x∈(−4,0). Nejednačina postaje:
−(x2+4x)⩾1−2x Oslobađamo se zagrade i prebacujemo sve članove na levu stranu:
−x2−4x−1+2x⩾0 Sređujemo izraz:
−x2−2x−1⩾0 Množimo nejednačinu sa −1 i menjamo znak nejednakosti:
x2+2x+1⩽0 Prepoznajemo kvadrat binoma:
(x+1)2⩽0 Kvadrat realnog broja je uvek nenegativan, pa je jedino moguće rešenje kada je jednak nuli:
x+1=0⟹x=−1 Proveravamo da li rešenje pripada uslovu drugog slučaja x∈(−4,0). Pošto −1∈(−4,0), ovo jeste rešenje.
Konačno rešenje dobijamo unijom rešenja iz oba slučaja:
x∈(−∞,−3−10]∪{−1}∪[−3+10,+∞)