1739. Kvadratne nejednačine

Na osnovu Vijetovih formula za kvadratnu jednačinu $ax^2 + bx + c = 0 ,$ zapisujemo zbir i proizvod rešenja za datu jednačinu $x^2 + 2mx + 4 = 0 :$

\begin{aligned} x_1 + x_2 &= -\frac{b}{a} = -2m \\ x_1 \cdot x_2 &= \frac{c}{a} = 4 \end{aligned}

Transformišemo polaznu nejednačinu tako što izraze svodimo na zajednički imenilac:

\begin{aligned} \frac{x_1^2}{x_2^2} + \frac{x_2^2}{x_1^2} &\leqslant 2 \\ \frac{x_1^4 + x_2^4}{x_1^2 x_2^2} &\leqslant 2 \end{aligned}

Prebacujemo sve na levu stranu kako bismo formirali kvadrat binoma u brojiocu:

\begin{aligned} \frac{x_1^4 + x_2^4}{x_1^2 x_2^2} - 2 &\leqslant 0 \\ \frac{x_1^4 - 2x_1^2 x_2^2 + x_2^4}{(x_1 x_2)^2} &\leqslant 0 \\ \frac{(x_1^2 - x_2^2)^2}{(x_1 x_2)^2} &\leqslant 0 \end{aligned}

Izraz $(x_1^2 - x_2^2)^2$ možemo zapisati preko zbira i razlike rešenja:

(x_1^2 - x_2^2)^2 = ((x_1 - x_2)(x_1 + x_2))^2 = (x_1 - x_2)^2 (x_1 + x_2)^2

Kvadrat razlike rešenja $(x_1 - x_2)^2$ izražavamo preko Vijetovih formula:

(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2

Zamenjujemo vrednosti iz Vijetovih formula u dobijene izraze:

\begin{aligned} (x_1 + x_2)^2 &= (-2m)^2 = 4m^2 \\ (x_1 - x_2)^2 &= 4m^2 - 4 \cdot 4 = 4m^2 - 16 \end{aligned}

Računamo vrednost brojioca $(x_1^2 - x_2^2)^2$ i imenioca $(x_1 x_2)^2 :$

\begin{aligned} (x_1^2 - x_2^2)^2 &= (4m^2 - 16) \cdot 4m^2 = 16m^2(m^2 - 4) \\ (x_1 x_2)^2 &= 4^2 = 16 \end{aligned}

Vraćamo dobijene vrednosti u nejednačinu izvedenu u trećem koraku:

\begin{aligned} \frac{16m^2(m^2 - 4)}{16} &\leqslant 0 \\ m^2(m^2 - 4) &\leqslant 0 \end{aligned}

Pošto je kvadrat realnog broja uvek nenegativan ( $m^2 \ge 0$ ), nejednačina će biti zadovoljena ako i samo ako je drugi činilac manji ili jednak nuli:

m^2 - 4 \leqslant 0

Faktorišemo razliku kvadrata kako bismo odredili znak izraza:

(m - 2)(m + 2) \leqslant 0

Na osnovu tabele, rešenje nejednačine su vrednosti parametra $m$ za koje je izraz negativan ili jednak nuli:

m \in [-2, 2]

315