1739.

Kvadratne nejednačine

TEKST ZADATKA

Za koje vrednosti realnih parametra m m i k k rešenja x1 x_1 i x2 x_2 jednačina zadovoljavaju date relacije (zadaci 312-315)? x2+2mx+4=0, x^2 + 2mx + 4 = 0 , x12x22+x22x12⩽2. \frac{x_1^2}{x_2^2} + \frac{x_2^2}{x_1^2} \leqslant 2 .

REŠENJE ZADATKA

Na osnovu Vijetovih formula za kvadratnu jednačinu ax2+bx+c=0, ax^2 + bx + c = 0 , zapisujemo zbir i proizvod rešenja za datu jednačinu x2+2mx+4=0: x^2 + 2mx + 4 = 0 :

x1+x2=−ba=−2mx1⋅x2=ca=4\begin{aligned} x_1 + x_2 &= -\frac{b}{a} = -2m \\ x_1 \cdot x_2 &= \frac{c}{a} = 4 \end{aligned}

Transformišemo polaznu nejednačinu tako što izraze svodimo na zajednički imenilac:

x12x22+x22x12⩽2x14+x24x12x22⩽2\begin{aligned} \frac{x_1^2}{x_2^2} + \frac{x_2^2}{x_1^2} &\leqslant 2 \\ \frac{x_1^4 + x_2^4}{x_1^2 x_2^2} &\leqslant 2 \end{aligned}

Prebacujemo sve na levu stranu kako bismo formirali kvadrat binoma u brojiocu:

x14+x24x12x22−2⩽0x14−2x12x22+x24(x1x2)2⩽0(x12−x22)2(x1x2)2⩽0\begin{aligned} \frac{x_1^4 + x_2^4}{x_1^2 x_2^2} - 2 &\leqslant 0 \\ \frac{x_1^4 - 2x_1^2 x_2^2 + x_2^4}{(x_1 x_2)^2} &\leqslant 0 \\ \frac{(x_1^2 - x_2^2)^2}{(x_1 x_2)^2} &\leqslant 0 \end{aligned}

Izraz (x12−x22)2 (x_1^2 - x_2^2)^2 možemo zapisati preko zbira i razlike rešenja:

(x12−x22)2=((x1−x2)(x1+x2))2=(x1−x2)2(x1+x2)2(x_1^2 - x_2^2)^2 = ((x_1 - x_2)(x_1 + x_2))^2 = (x_1 - x_2)^2 (x_1 + x_2)^2

Kvadrat razlike rešenja (x1−x2)2 (x_1 - x_2)^2 izražavamo preko Vijetovih formula:

(x1−x2)2=(x1+x2)2−4x1x2(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2

Zamenjujemo vrednosti iz Vijetovih formula u dobijene izraze:

(x1+x2)2=(−2m)2=4m2(x1−x2)2=4m2−4⋅4=4m2−16\begin{aligned} (x_1 + x_2)^2 &= (-2m)^2 = 4m^2 \\ (x_1 - x_2)^2 &= 4m^2 - 4 \cdot 4 = 4m^2 - 16 \end{aligned}

Računamo vrednost brojioca (x12−x22)2 (x_1^2 - x_2^2)^2 i imenioca (x1x2)2: (x_1 x_2)^2 :

(x12−x22)2=(4m2−16)⋅4m2=16m2(m2−4)(x1x2)2=42=16\begin{aligned} (x_1^2 - x_2^2)^2 &= (4m^2 - 16) \cdot 4m^2 = 16m^2(m^2 - 4) \\ (x_1 x_2)^2 &= 4^2 = 16 \end{aligned}

Vraćamo dobijene vrednosti u nejednačinu izvedenu u trećem koraku:

16m2(m2−4)16⩽0m2(m2−4)⩽0\begin{aligned} \frac{16m^2(m^2 - 4)}{16} &\leqslant 0 \\ m^2(m^2 - 4) &\leqslant 0 \end{aligned}

Pošto je kvadrat realnog broja uvek nenegativan (m2≥0 m^2 \ge 0 ), nejednačina će biti zadovoljena ako i samo ako je drugi činilac manji ili jednak nuli:

m2−4⩽0m^2 - 4 \leqslant 0

Faktorišemo razliku kvadrata kako bismo odredili znak izraza:

(m−2)(m+2)⩽0(m - 2)(m + 2) \leqslant 0
m∈(−∞,−2)m \in (-\infty, -2)
m∈(−2,2)m \in (-2, 2)
m∈(2,+∞)m \in (2, +\infty)
m−2m-2
−-
−-
++
m+2m+2
−-
++
++
(m−2)(m+2)(m-2)(m+2)
++
−-
++

Na osnovu tabele, rešenje nejednačine su vrednosti parametra m m za koje je izraz negativan ili jednak nuli:

m∈[−2,2]m \in [-2, 2]

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti