PrethodniSledeći
1734.

314

TEKST ZADATKA

Za koje vrednosti realnih parametra m m i k k rešenja x1 x_1 i x2 x_2 jednačina zadovoljavaju date relacije (zadaci 312-315)? (k+2)x2−2(k+3)x+k−1=0, (k + 2)x^2 - 2(k + 3)x + k - 1 = 0 , 1x1+1x2⩾1. \frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} \geqslant 1 .

REŠENJE ZADATKA

Da bi jednačina bila kvadratna, mora važiti k+2≠0, k + 2 \neq 0 , odnosno k≠−2. k \neq -2 . Prema Vijetovim formulama, zbir i proizvod rešenja kvadratne jednačine su:

x1+x2=2(k+3)k+2x1x2=k−1k+2\begin{aligned} x_1 + x_2 &= \frac{2(k + 3)}{k + 2} \\ x_1 x_2 &= \frac{k - 1}{k + 2} \end{aligned}

Transformišemo zadati uslov tako da možemo primeniti Vijetove formule:

1x1+1x2=x1+x2x1x2⩾1\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} \geqslant 1

Zamenjujemo vrednosti dobijene iz Vijetovih formula u transformisani uslov:

2(k+3)k+2k−1k+2⩾1\frac{\frac{2(k + 3)}{k + 2}}{\frac{k - 1}{k + 2}} \geqslant 1

Skraćujemo razlomak sa k+2 k + 2 (uz uslov k≠−2 k \neq -2 ) i dobijamo:

2(k+3)k−1⩾1\frac{2(k + 3)}{k - 1} \geqslant 1

Prebacujemo sve na levu stranu kako bismo rešili nejednačinu:

2k+6k−1−1⩾0\frac{2k + 6}{k - 1} - 1 \geqslant 0

Svodićemo izraze na zajednički imenilac:

2k+6−(k−1)k−1⩾0\frac{2k + 6 - (k - 1)}{k - 1} \geqslant 0

Sređujemo brojilac:

k+7k−1⩾0\frac{k + 7}{k - 1} \geqslant 0

Za rešavanje ove racionalne nejednačine, analiziramo znak brojioca i imenioca. Nule su k=−7 k = -7 i k=1. k = 1 .

k∈(−∞,−7)k \in (-\infty, -7)
k∈(−7,1)k \in (-7, 1)
k∈(1,+∞)k \in (1, +\infty)
k+7k+7
−-
++
++
k−1k-1
−-
−-
++
k+7k−1\frac{k+7}{k-1}
++
−-
++

Na osnovu tabele, izraz je veći ili jednak nuli kada su brojilac i imenilac istog znaka. Brojilac može biti jednak nuli, pa je k=−7 k = -7 uključeno u rešenje. Imenilac ne sme biti nula, pa k=1 k = 1 nije uključeno.

k∈(−∞,−7]∪(1,+∞)k \in (-\infty, -7] \cup (1, +\infty)

Da li je rešenje bilo korisno?

Jedan klik nam pomaže da poboljšamo zadatke.

Prijavi se za ocenu