Vijetove formule: zbir recipročnih rešenja

Da bi jednačina bila kvadratna, mora važiti $k + 2 \neq 0 ,$ odnosno $k \neq -2 .$ Prema Vijetovim formulama, zbir i proizvod rešenja kvadratne jednačine su:

\begin{aligned} x_1 + x_2 &= \frac{2(k + 3)}{k + 2} \\ x_1 x_2 &= \frac{k - 1}{k + 2} \end{aligned}

Transformišemo zadati uslov tako da možemo primeniti Vijetove formule:

\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = \frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2} \geqslant 1

Zamenjujemo vrednosti dobijene iz Vijetovih formula u transformisani uslov:

\frac{\frac{2(k + 3)}{k + 2}}{\frac{k - 1}{k + 2}} \geqslant 1

Skraćujemo razlomak sa $k + 2$ (uz uslov $k \neq -2$ ) i dobijamo:

\frac{2(k + 3)}{k - 1} \geqslant 1

Prebacujemo sve na levu stranu kako bismo rešili nejednačinu:

\frac{2k + 6}{k - 1} - 1 \geqslant 0

Svodićemo izraze na zajednički imenilac:

\frac{2k + 6 - (k - 1)}{k - 1} \geqslant 0

Sređujemo brojilac:

\frac{k + 7}{k - 1} \geqslant 0

Za rešavanje ove racionalne nejednačine, analiziramo znak brojioca i imenioca. Nule su $k = -7$ i $k = 1 .$

k \in (-\infty, -7)

k \in (-7, 1)

k \in (1, +\infty)

k+7

-

+

+

k-1

-

-

+

\frac{k+7}{k-1}

+

-

+

Na osnovu tabele, izraz je veći ili jednak nuli kada su brojilac i imenilac istog znaka. Brojilac može biti jednak nuli, pa je $k = -7$ uključeno u rešenje. Imenilac ne sme biti nula, pa $k = 1$ nije uključeno.

k \in (-\infty, -7] \cup (1, +\infty)

Započni učenje

Privatni časovi

314

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci