Nejednačina u celim brojevima: količnik dva trinoma

Prvo pronalazimo nule kvadratnog polinoma u brojocu rešavanjem jednačine $x^2 - 6x - 16 = 0 .$ Koristimo kvadratnu formulu:

x_{1,2} = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16)}}{2 \cdot 1} = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 64}}{2} = \frac{6 \pm 10}{2}

Nule brojioca su:

x_1 = -2, \quad x_2 = 8

Zatim pronalazimo nule kvadratnog polinoma u imeniocu rešavanjem jednačine $x^2 - 12x + 11 = 0 :$

x_{3,4} = \frac{-(-12) \pm \sqrt{(-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11}}{2 \cdot 1} = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 44}}{2} = \frac{12 \pm 10}{2}

Nule imenioca su:

x_3 = 1, \quad x_4 = 11

x \in (-\infty, -2)

x \in (-2, 1)

x \in (1, 8)

x \in (8, 11)

x \in (11, +\infty)

x^2 - 6x - 16

+

-

-

+

+

x^2 - 12x + 11

+

+

-

-

+

P(x)/Q(x)

+

-

+

-

+

Na osnovu tabele znaka, rešenje nejednačine u skupu realnih brojeva je unija intervala gde je izraz negativan:

x \in (-2, 1) \cup (8, 11)

Pošto se u zadatku traže rešenja u skupu celih brojeva ( $\mathbb{Z}$ ), izdvajamo cele brojeve iz dobijenih intervala:

x \in \{-1, 0, 9, 10\}

296.v