1719. Kvadratne nejednačine

REŠENJE ZADATKA

Prvi korak je da prebacimo broj 3 na levu stranu nejednačine kako bismo na desnoj strani dobili nulu.

\frac{-x^2 + 2x - 3}{x^2 - 4x + 3} - 3 < 0

Svodimo izraze na zajednički imenilac $x^2 - 4x + 3 .$

\frac{-x^2 + 2x - 3 - 3(x^2 - 4x + 3)}{x^2 - 4x + 3} < 0

Sređujemo brojilac množenjem i sabiranjem sličnih članova.

\frac{-x^2 + 2x - 3 - 3x^2 + 12x - 9}{x^2 - 4x + 3} < 0 \\ \frac{-4x^2 + 14x - 12}{x^2 - 4x + 3} < 0

Možemo podeliti celu nejednačinu sa 2 (ili -2 uz promenu znaka) radi lakšeg računa. Podelimo brojilac sa 2.

\frac{-2x^2 + 7x - 6}{x^2 - 4x + 3} < 0

Tražimo nule brojioca rešavanjem kvadratne jednačine $-2x^2 + 7x - 6 = 0 .$

x_{1,2} = \frac{-7 \pm \sqrt{49 - 48}}{-4} = \frac{-7 \pm 1}{-4} \implies x_1 = \frac{3}{2}, x_2 = 2

Tražimo nule imenioca rešavanjem kvadratne jednačine $x^2 - 4x + 3 = 0 .$

x_{3,4} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2} \implies x_3 = 1, x_4 = 3

x \in (-\infty, 1)

x \in (1, 1.5)

x \in (1.5, 2)

x \in (2, 3)

x \in (3, +\infty)

-2x^2+7x-6

-

-

+

-

-

x^2-4x+3

+

-

-

-

+

Količnik

-

+

-

+

-

Na osnovu tabele, rešenje nejednačine (gde je izraz negativan) je unija intervala:

x \in (-\infty, 1) \cup (1.5, 2) \cup (3, +\infty)

295.a