1701. Kvadratne nejednačine

REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo rastaviti brojilac i imenilac na činioce kako bismo lakše ispitali znak izraza.

\frac{(x - 2)(x + 2)}{x(4 - x)} > 0

Određujemo nule brojioca i imenioca koje dele brojnu pravu na intervale.

x - 2 = 0 \implies x = 2 \\ x + 2 = 0 \implies x = -2 \\ x = 0 \\ 4 - x = 0 \implies x = 4

(-\infty, -2)

(-2, 0)

(0, 2)

(2, 4)

(4, +\infty)

x+2

-

+

+

+

+

x-2

-

-

-

+

+

x

-

-

+

+

+

4-x

+

+

+

+

-

P(x)

+

-

+

-

+

Iz tabele vidimo da je izraz veći od nule na sledećim intervalima:

x \in (-\infty, -2) \cup (0, 2) \cup (4, +\infty)

Zadatak traži rešenja u skupu celih brojeva. Međutim, intervali $(-\infty, -2) ,$ $(0, 2)$ i $(4, +\infty)$ sadrže beskonačno mnogo celih brojeva. Proverimo još jednom uslov zadatka. Ukoliko se traži skup svih celih brojeva koji zadovoljavaju nejednačinu, to su:

x \in \mathbb{Z} \cap ((-\infty, -2) \cup (0, 2) \cup (4, +\infty))

Celi brojevi koji pripadaju ovim intervalima su:

\{\dots, -5, -4, -3, 1, 5, 6, 7, \dots\}

296.b