1724. Kvadratne nejednačine

REŠENJE ZADATKA

Prvo prebacujemo sve članove na levu stranu nejednačine kako bismo dobili nulu na desnoj strani.

\frac{15}{-x^2 + 3x + 4} - 1 > 0

Svodimo izraze na zajednički imenilac.

\frac{15 - (-x^2 + 3x + 4)}{-x^2 + 3x + 4} > 0 \\ \frac{15 + x^2 - 3x - 4}{-x^2 + 3x + 4} > 0 \\ \frac{x^2 - 3x + 11}{-x^2 + 3x + 4} > 0

Ispitujemo znak brojioca $x^2 - 3x + 11 .$ Računamo diskriminantu kvadratne funkcije.

D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 11 = 9 - 44 = -35

Pošto je diskriminanta $D < 0$ i koeficijent uz $x^2$ pozitivan ( $a = 1 > 0$ ), brojilac je uvek pozitivan za svako realno $x .$

x^2 - 3x + 11 > 0, \quad \forall x \in \mathbb{R}

Da bi ceo razlomak bio pozitivan, imenilac takođe mora biti pozitivan, jer je brojilac uvek pozitivan.

-x^2 + 3x + 4 > 0

Nalazimo nule imenioca rešavanjem kvadratne jednačine $-x^2 + 3x + 4 = 0 .$

x_{1,2} = \frac{-3 \pm \sqrt{3^2 - 4 \cdot (-1) \cdot 4}}{2 \cdot (-1)} = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 16}}{-2} = \frac{-3 \pm 5}{-2} \\ x_1 = \frac{2}{-2} = -1, \quad x_2 = \frac{-8}{-2} = 4

x \in (-\infty, -1)

x \in (-1, 4)

x \in (4, +\infty)

-x^2 + 3x + 4

-

+

-

Iz tabele ili analize parabole (okrenuta nadole jer je $a = -1$ ), vidimo da je imenilac pozitivan u intervalu:

x \in (-1, 4)

Zadatak traži rešenja u skupu celih brojeva $\mathbb{Z} .$ Celi brojevi koji pripadaju intervalu $(-1, 4)$ su:

x \in \{0, 1, 2, 3\}

296.a