Nejednačina u celim brojevima sa kvadratom binoma

Prvo ćemo transformisati brojilac i imenilac u proizvod linearnih činilaca. Brojilac je kvadrat binoma:

x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2

Zatim nalazimo nule imenioca rešavanjem kvadratne jednačine $x^2 + 2x - 3 = 0 :$

x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2}

Koreni imenioca su $x_1 = 1$ i $x_2 = -3 ,$ pa imenilac možemo zapisati kao:

x^2 + 2x - 3 = (x - 1)(x + 3)

Sada nejednačina glasi:

\frac{(x + 1)^2}{(x - 1)(x + 3)} < 0

Analiziramo znak izraza. Izraz $(x + 1)^2$ je uvek nenegativan, ali pošto tražimo strogu nejednakost, on mora biti različit od nule, odnosno $x \neq -1 .$ Znak celog razlomka zavisi od znaka imenioca.

x \in (-\infty, -3)

x \in (-3, -1)

x \in (-1, 1)

x \in (1, +\infty)

(x+1)^2

+

+

+

+

x+3

-

+

+

+

x-1

-

-

-

+

P(x)

+

-

-

+

Iz tabele vidimo da je izraz negativan za:

x \in (-3, -1) \cup (-1, 1)

Zadatak traži rešenja u skupu celih brojeva $\mathbb{Z} .$ Proveravamo cele brojeve u dobijenim intervalima:

x \in \{-2, 0\}

Započni učenje

Privatni časovi

296.g

Beleške

Slični zadaci

Slični zadaci