1732.

Kvadratne nejednačine

TEKST ZADATKA

Rešiti nejednačinu u skupu celih brojeva: x2+2x+1x2+2x−3<0. \frac{x^2 + 2x + 1}{x^2 + 2x - 3} < 0 .

REŠENJE ZADATKA

Prvo ćemo transformisati brojilac i imenilac u proizvod linearnih činilaca. Brojilac je kvadrat binoma:

x2+2x+1=(x+1)2x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2

Zatim nalazimo nule imenioca rešavanjem kvadratne jednačine x2+2x−3=0: x^2 + 2x - 3 = 0 :

x1,2=−2±22−4⋅1⋅(−3)2⋅1=−2±162=−2±42x_{1,2} = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2}

Koreni imenioca su x1=1 x_1 = 1 i x2=−3, x_2 = -3 , pa imenilac možemo zapisati kao:

x2+2x−3=(x−1)(x+3)x^2 + 2x - 3 = (x - 1)(x + 3)

Sada nejednačina glasi:

(x+1)2(x−1)(x+3)<0\frac{(x + 1)^2}{(x - 1)(x + 3)} < 0

Analiziramo znak izraza. Izraz (x+1)2 (x + 1)^2 je uvek nenegativan, ali pošto tražimo strogu nejednakost, on mora biti različit od nule, odnosno x≠−1. x \neq -1 . Znak celog razlomka zavisi od znaka imenioca.

x∈(−∞,−3)x \in (-\infty, -3)
x∈(−3,−1)x \in (-3, -1)
x∈(−1,1)x \in (-1, 1)
x∈(1,+∞)x \in (1, +\infty)
(x+1)2(x+1)^2
++
++
++
++
x+3x+3
−-
++
++
++
x−1x-1
−-
−-
−-
++
P(x)P(x)
++
−-
−-
++

Iz tabele vidimo da je izraz negativan za:

x∈(−3,−1)∪(−1,1)x \in (-3, -1) \cup (-1, 1)

Zadatak traži rešenja u skupu celih brojeva Z. \mathbb{Z} . Proveravamo cele brojeve u dobijenim intervalima:

x∈{−2,0}x \in \{-2, 0\}

Balkan Tutor Sva Prava Zadržana © 2026

Politika privatnosti